5.2.1 三角函数的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

5．2　三角函数的概念 5．2.1　三角函数的概念 学习目标 1．借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号．　　 知识点一　任意角的三角函数的定义 1．单位圆法 前提 如果，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α 余弦 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan_α(x≠0) 三角 函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 2.坐标法 如图，在任意角的终边上任取一点P(x，y)，则r＝|OP|＝，sin α＝，cos α＝，tan α＝(α≠0)． (1)三角函数的符号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积． (2)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数． [微练1]　已知角α的终边与单位圆交于点(－，－)，则sin α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：B　根据三角函数的定义可知sin α＝y＝－. [微练2]　若角α的终边经过点(1，－)，则sin α＝________． 解析：∵角α的终边经过点(1，－)， ∴x＝1，y＝－，r＝2， ∴sin α＝＝－. 答案：－ 知识点二　三角函数值的符号 　如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负． 余弦：一四象限正，二三象限负． 正切：一三象限正，二四象限负． 三角函数值的符号记忆 一全正、二正弦、三正切、四余弦．其意思是：第一象限中各种三角函数值全是正数；第二象限中正弦值为正数；第三象限中正切值为正数；第四象限中余弦值为正数． [微练3]　sin 285°·cos(－105°)________0.(填“＜”“＞”) 解析：∵sin 285°＜0，cos(－105°)＜0， ∴sin 285°·cos(－105°)＞0. 答案：＞ 知识点三　诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)： sin(α＋k·2π)＝sin_α， cos(α＋k·2π)＝cos_α， tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z. [微练4]　sin 780°＝________，cos＝________． 答案：　 题型一　三角函数的定义及应用 　(链接教材P179例2)(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(，)和(－，)，那么sin αcos β＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． (1)[解析]　∵角α，β的终边与单位圆分别交于点(，)和(－，)， 故由三角函数的定义知sin α＝，cos β＝－， ∴sin αcos β＝×(－)＝－. [答案]　B (2)[解]　r＝＝5|a|， ①若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限． sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a＜0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝. 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角α终边上一点P(x，y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)； (2)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上的点，则首先求r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)； (3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解； (4)若点的坐标，角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论． 1．已知角α的终边上一点P(m，)，且cos α＝，则m＝________． 解析：由题意得x＝m，y＝， ∴r＝|OP|＝， ∴cos α＝＝＝，很明显m>0， 解得m＝. 答案： 2．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：当α的终边位于第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)， 则r＝ ＝， 所以sin α＝＝， cos α＝＝－， tan α＝＝－2. 当α的终边位于第四象限时，