4.5.3 函数模型的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4.5.3　函数模型的应用 学习目标 1．能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题．　　 知识点　几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1) 对数型函数 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1) 幂函数型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) [微练1]　某种产品今年的产量是a，如果保持5%的增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　) A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5% C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x 解析：D　经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x. [微练2]　已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________． 解析：由得 所以y＝－2×0.5x＋2， 所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75万件 题型一　应用已知函数模型解决实际问题 　Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流感累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大感染病例数．当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步得到遏制，则t*约为(　　) (注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2) A．60 B．62 C．66 D．69 [解析]　∵I(t*)＝， ∴0.9K＝， ∴e0.24(t－53)＝9， ∴ln e0.24(t－53)＝ln 9， ∴0.24(t*－53)≈2.2，∴t*≈62. [答案]　B 利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算． 1．统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现：我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比．例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有30.7(约2.16)倍．观察某个国家地图，感觉全国面积约为某地区面积的10倍，那么这个国家的实际面积大约是该地区面积的(lg 2≈0.3010，lg 3＝0.4471，lg 7≈0.8451)(　　) A．18倍 B．21倍 C．24倍 D．27倍 解析：D　设这个国家的实际面积大约是该地区面积的x倍． ∴若感觉全国面积约为某地区面积的10倍，则10＝x0.7， 解得lg x＝≈1.43， ∵lg 27＝3lg 3≈1.43， ∴x≈27.故选D． 题型二　建立函数模型解决实际问题 　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0＜x＜1)．当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间． (1)求x的值； (2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？ [解]　(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0＜x＜1)， 则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝， 解得x＝1－(). (2)设从今年开始，还需治理n年， 则n年后剩余面积为a(1－x)n， 令a(1－x)n≤a， 即(1－x)n≤， ()≤()，≥， 解得n≥15， 故至少还需治理15年． 幂函数模型应用的常见题型及解题策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式； (2)根据题意直接列出相应的函数关系式； (3)结合幂函数的性质求最值． 2．某化工厂生产一种溶液的成品，生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为x(x∈N*)时溶液杂质含量为y， (1)分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量y1，y2的值； (2)写出y与x的函数关系式(要求写出定义域)； (3)按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg 2≈0.301) 解：(1)1次过滤后，溶液杂质含量y1＝×＝0.01＝1%