4.5.2 用二分法求方程的近似解-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4.5.2　用二分法求方程的近似解 学习目标 1．了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．　　 知识点一　二分法的概念 定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理；(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． [微练1]　下列函数能用二分法求零点的是(　　) 解析：C　A图象没有零点；B，D图象有零点，但不满足f(a)·f(b)<0，故选C． 知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤 　 [微练2]　用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以选取的初始区间是(　　) A．[－2，1] B．[－1，0] C．[0，1] D．[1，2] 答案：A [微练3]　用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln(x＋)的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f()>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________． 答案：(0，)　f() 题型一　二分法的概念 1．(多选题)(链接教材P155习题T1)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 解析：ABC　根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值．故选ABC． 2．已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：A　由题意知Δ＝62－4c＝0，即c＝9. 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右两侧的函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 题型二　用二分法求方程近似解(函数零点的近似解) 　(1)(多选题)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下： x 0.0625 0.093 75 0.125 0.156 25 0.1875 f(x) －0.4567 －0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为(　　) A．0.625 B．0.093 75 C．0.125 D．0.096 (2)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A．[1，4] B．[－2，1] C．[－2，] D．[－，1] [解析]　(1)由表格数据可知，f(x)的零点区间为(0，0.125)， 由于f(0.093 75)＜0， ∴f(x)的零点区间为(0.093 75，0.125)， 又0.096∈(0.093 75，0.125)， ∴0.125－0.093 75＝0.031 25＜0.05， ∴f(x)的零点可以为0.093 75或0.096或0.125.故选BCD． (2)因为第一次所取的区间是[－2，4]， 第二次取区间的中点x1＝＝1， 所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]， 同理第三次所取的区间可能为[－2，－]，[－，1]，[1，]，[，4]． [答案]　(1)BCD　(2)D 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 1．用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是______________． 解析：设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0， 所以f(x)零点所在的区间为(1，2)， 所以方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1，2)． 答案：(1，2) 题型三　二分法的实际应用 　某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？ [解]　如图，可首先从中点C开始