4.5.1 函数的零点与方程的解-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．5　函数的应用(二) 4．5.1　函数的零点与方程的解 学习目标 1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．　 知识点一　函数的零点 1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；(2)求零点可转化为求对应方程的解． [微练1]　函数f(x)＝log2(2x－1)的零点是(　　) A．1 B．2 C．(1，0) D．(2，1) 答案：A [微练2]　已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为________． 解析：f(x)＝－2x＋m的零点为4， 所以－2×4＋m＝0，m＝8. 答案：8 知识点二　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． [微练3]　函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析：D　因为f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0，所以f(2)f(3)<0，所以D正确． [微练4]　已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________． 答案：(1.25，1.5) 题型一　求函数的零点 (1)求函数f(x)＝的零点； (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 解：(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1(舍去)； 当x＞0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. (2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a， 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－. 所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－. 函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 题型二　判断函数零点所在区间 　(链接教材P144练习T2)(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　) A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1) C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) (2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) [解析]　(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)×f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理可得方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根．故选A． (2)因为f(x)＝－log2x，所以f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4)．故选C． [答案]　(1)A　(2)C 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．根据表格中的数据，可以判断函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) x 1 2 e 3 5 ln x 0 0.69 1 1.10 1.61 3 1.5 1.10 1 0.6 A．(1，2) B