4.4.3 不同函数增长的差异-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4.4.3　不同函数增长的差异 学习目标 1．了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型．　 知识点　三种函数模型的性质 三种常见函数模型的增长差异 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速 度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax [微练1]　下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 答案：A [微练2]　如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 解析：A　随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故此函数为一次函数模型. 题型一　几个函数模型增长差异的比较 1．下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2023x B．y＝x2023 C．y＝log2023x D．y＝2023x 解析：A　指数函数y＝ax在a＞1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，故选A． 2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3635 6655 y2 5 29 245 2189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2 解析：C　y1随x的增加，增长速度变大，但相对y2没有y2的增长速度更快，y3增长速度趋于平缓，故y1，y2，y3分别是幂函数、指数函数、对数函数模型． 3．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是________． ①y＝3×1.04x； ②y＝20＋x10； ③y＝40＋lg(x＋1)； ④y＝80. 解析：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①. 答案：① 常见的函数模型及增长特点 线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变 指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧变大，形象地称为“指数爆炸” 对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长” 题型二　利用函数图象比较增长速度 　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示． (1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数． (2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小． [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1， C2对应的函数为f(x)＝ln x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)． 综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)． 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． 1.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2022)，g(2022)的大小． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3， C2对