4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　对数函数的图象和性质(一) 学习目标 1．初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用．　　 知识点一　对数函数的图象及性质 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0，1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0，1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 [微练1]　函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　) 解析：C　y＝lg x的图象向左平移1个单位得y＝lg(x＋1)的图象． [微练2]　函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(　　) A．(1，1) B．(2，1) C．(1，2) D．(2，2) 解析：B　根据对数函数的性质，x＝2时，loga1＝0，所以f(2)＝0＋1，所以图象恒过点(2，1)． 知识点二　反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的定义域和值域正好互换．图象关于直线y＝x对称． [微练3]　若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f()的值为________． 解析：由题意得，f(x)＝log3x， 所以f()＝log3＝－log32. 答案：－log32 题型一　对数函数的图象及应用 角度1　图象的辨识与画法 　(1)(多选题)如图是三个对数函数的图象，则(　　) A．a＞1 B．0＜b＜1 C．2b＜2c＜2a D．c＜b (2)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． [解析]　(1)由题中图象知a＞1，0＜b＜1，0＜c＜1，且c＞b，∴2b＜2c＜2a，A、B、C正确． [答案]　ABC (2)[解]　因为f(－5)＝1， 所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ 所以函数f(x)＝log5|x|的图象如图所示． 角度2　图象过定点问题 　若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝________，c＝________． [解析]　由于函数图象恒过定点(3，2)， 由对数函数的性质知， ∴∴ [答案]　－2　2 角度3　与对数函数图象有关的应用 　画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间． [解]　函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示． 由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调递减区间是(－1，0]，单调递增区间是(0，＋∞)． 1．对数函数底数对图象的影响 其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0＜c＜d＜1＜a＜b. 2．关于对数函数的定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 3．有关对数函数图象的作法，仍可用平移翻折，对称等变换方法． 1．(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为(　　) (2)函数y＝loga(x－2)(a＞0且a≠1)的图象恒过的定点是(　　) A．(1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0) 解析：(1)C　f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，图象关于y轴对称，当a＞1时，y＝loga|x|在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)上单调递减，将y＝loga|x|的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图象，故选C． (2)C　令x－2＝1，解得x＝3，当x＝3时，y＝0. 故函数的图象恒过定点(3，0)． 2．画出函数h(x)＝|log5x|的图象，并指出单调区间． 解：因为5＞1，作出h(x)的图象如图所示． 由函数图象得单调递减区间为(0，1]，单调递增区间为[1，＋∞)． 题型二　比较对数值的大小 　(链接教材P133例3)比较下列各组数中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)； (4)log50.4，log60.4. [解]　(1)因为y＝log3x