4.4.1 对数函数的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4.4　对数函数 4．4.1　对数函数的概念 学习目标 1．理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．　　 知识点　对数函数的概念 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 2．特殊的对数函数 常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg_x 自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln_x [微练1]　(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A．y＝logπx B．y＝logx C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1) 答案：AB [微练2]　函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 答案：B [微练3]　若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定 答案：A 题型一　对数函数的概念及应用 (1)给出下列函数： ①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝log5x. 其中是对数函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：A　只有第④个满足对数函数的定义． (2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f()＝________． 解析：设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8，3)， ∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2. ∴f(x)＝log2x， ∴f()＝log2＝log22－5＝－5. 答案：－5 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 题型二　对数函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log(x－1)(3－x)； (4)y＝lg. [解]　(1)要使函数式有意义，需解得x>1，且x≠2. 所以函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}． (2)要使函数式有意义，需16－4x>0， 解得x<2. 所以函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x<2}． (3)要使函数式有意义，需 解得1<x<3，且x≠2. 所以函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}． (4)要使函数式有意义，需使＞0， 即(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1， 所以函数y＝lg的定义域为{x|－1＜x＜1}． 求对数型函数的定义域需注意 (1)真数大于0. (2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1. 1．求下列函数的定义域： (1)y＝lg(x＋1)＋； (2)y＝log(x－2)(5－x)． 解：(1)要使函数式有意义，需 解得 所以－1<x<1. 所以该函数的定义域为(－1，1)． (2)要使函数式有意义，需 解得所以2<x<5，且x≠3. 所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，5)． 题型三　对数函数模型的应用 　人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝10lg.生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为200 dB，而人类说话时，声音约为60 dB，则抹香鲸的声音强度与人类说话时的声音强度之比为(　　) A．10－14 B． C．1014 D．108 [解析]　当声音约为200 dB时，则200＝10lg，解得x＝108，当声音约为60 dB时，则60＝10lg，解得x＝10－6，所以抹香鲸的声音强度与人类说话时的声音强度之比为＝1014. [答案]　C 利用指数、对数函数解应用问题的步骤 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 2．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2(1＋)，其中W是信道带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为(参考