4.3.2 第2课时 换底公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　换底公式 1．掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．　　 知识点一　对数的换底公式 式子logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)，叫做对数换底公式． (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝. 知识点二　对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1)． (2)loganbm＝logab(a＞0，且a≠1，b＞0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且a≠1，b≠1，c≠1)． [微练1]　计算：log35×log59＝________． 解析：原式＝log35×＝log39＝2. 答案：2 [微练2]　已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log312＝___________. 解析：原式＝＝＝. 答案： 题型一　利用换底公式求值 　(链接教材P126练习T3)计算： (1)log29·log34；(2). [解]　(1)由对数换底公式可得， log29·log34＝·＝·＝4. (2)原式＝×＝log×log9 ＝×＝×＝－. 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 1.的值是(　　) A． B． C．1 D．2 解析：A　原式＝＝. 2．log35·log56·log69＝________． 解析：log35·log56·log69＝·· ＝＝＝2. 答案：2 题型二　对数运算性质的综合运用 　(1)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)． (2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z. [解]　(1)因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝＝ ＝＝＝. (2)令2x＝3y＝5z＝k(k＞0)， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， ∴＝logk2，＝logk3，＝logk5， 由＋＋＝1， 得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30， ∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56. [发散思维] 　(变结论)若本例(1)条件不变，求log1845(用a，b表示)． 解：因为18b＝5，所以log185＝b， 所以log1845＝log189＋log185＝a＋b. 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 3．(1)设log23＝a，log25＝b，则log315＝________． (2)设3a＝4b＝36，求＋的值． (1)解析：log315＝＝ ＝＝1＋. 答案：1＋ (2)解：由3a＝4b＝36， 得a＝log336，b＝log436， 由换底公式得＝log363，＝log364， ∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1. 题型三　对数运算的实际应用 　(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 [解析]　将L＝4.9代入L＝5＋lg V，得 4．9＝5＋lg V， 即lg V＝－0.1＝－＝lg 10－， ∴V＝10－＝≈≈0.8， ∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C． [答案]　C 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． 4．物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40 dB与60 dB之间，则60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的多少倍？ 解：因为η＝10lg，所以60 dB声音的声波强度I1＝106·I0，40 dB声音的声波强度I2＝104