4.3.2 第1课时 对数的运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4.3.2　对数的运算 第1课时　对数的运算 学习目标 1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．　　 知识点一　对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． (1)对数性质的逆运算仍然成立；(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 知识点二　对数运算中的常见公式及推广 　(1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)； (2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)； (3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)； (4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1)． [微练1]　已知a>0且a≠1，则loga2＋loga＝(　　) A．0　　 B．　　 C．1　　 D．2 答案：A [微练2]　计算：log510－log52＝(　　) A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 答案：C [微练3]　(1)lg＝________；(2)ln＝________． 答案：(1)　(2) 题型一　直接利用对数运算性质求值 　(链接教材P124例3)计算下列各式： (1)log5； (2)log2(32×42)； (3)log3e＋log3； (4)lg 50－lg 5. [解]　(1)原式＝log525＝log552＝. (2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9. (3)log3e＋log3＝log3(e·)＝log33＝1. (4)lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1. 或者lg 50－lg 5＝lg 5＋lg 10－lg 5＝1. 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 1．计算下列各式的值： (1)lg；(2)log345－log35. 解：(1)原式＝lg 100＝lg 100＝×2＝. (2)原式＝log3＝log39＝log332＝2. 题型二　用已知对数值求对数值 　(1)(2022·日照市期末)已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，则lg 15＝________，lg＝________．(结果保留四位小数) (2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg＝________．(用a，b表示) [解析]　(1)lg 15＝lg＝lg 30－lg 2＝1＋lg 3－lg 2≈1＋0.4771－0.3010＝1.1761. lg＝lg 45＝lg＝(lg 9＋lg 10－lg 2)＝(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3＋－lg 2≈0.4771＋0.5－×0.3010＝0.8266. (2)lg＝lg 12－lg 5＝lg(3×22)－(1－lg 2) ＝lg 3＋2lg 2－1＋lg 2＝lg 3＋3lg 2－1 ＝b＋3a－1. [答案]　(1)1.1761　0.8266　(2)b＋3a－1 解此类题的方法是把所求的对数，利用对数运算性质化为已知的对数，进而求值． 2．用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg. 解：(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z. (2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋lg y2－lg z ＝lg x＋2lg y－lg z. (3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋lg y3－lg z＝lg x＋3lg y－lg z. (4)lg＝lg－lg(y2z)＝lg x－(lg y2＋lg z) ＝lg x－2lg y－lg z. 题型三　利用对数的运算性质化简、求值 　计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)； [解]　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. (2)原式＝ ＝＝. 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用； (2)“拆”：将积(商