4.3.1 对数的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4.3　对数 4．3.1　对数的概念 学习目标 1．了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．　　 知识点一　对数的概念 1．对数的定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．常用对数与自然对数 我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln_N． 指数运算和对数运算互为逆运算； 两种形式相互转化． 指数式与对数式的互化(其中a＞0，且a≠1)： [微练1]　(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与9＝3 C．8－＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7 答案：ACD 知识点二　对数的性质 1．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)loga a＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式 alogaN＝N． [微练2]　ln(lg 10)＝________． 解析：∵lg 10＝1，∴ln(lg 10)＝ln 1＝0. 答案：0 [微练3]　2log25＝________． 答案：5 题型一　指数式与对数式的互化 (链接教材P122例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝；(2)()－2＝16； (3)log27＝－3；(4)log64＝－6. 解：(1)∵3－2＝，∴log3＝－2. (2)∵()－2＝16，∴log16＝－2. (3)∵log27＝－3，∴()－3＝27. (4)∵log64＝－6，∴()－6＝64. 指数式与对数式互化的解题思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 题型二　利用指数式与对数式互化求值 　求下列各式中x的值： (1)logx16＝－4；(2)lg＝x； (3)－ln e－3＝x. [解]　(1)因为logx16＝－4， 所以x－4＝16， 即x－4＝24. 所以()4＝24，所以＝2，即x＝. (2)因为lg＝x，所以10x＝10－3， 所以x＝－3. (3)因为－ln e－3＝x，所以－x＝ln e－3， 即e－x＝e－3，所以x＝3. 求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN＝m. (2)将logaN＝m写成指数式am＝N. (3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 1．求下列各式的值： (1)log525；(2)log2；(3)lg 100. 解：(1)设x＝log525，则5x＝25＝52， 所以x＝2，即log525＝2. (2)设x＝log2，则2x＝＝2－4， 所以x＝－4，即log2＝－4. (3)设lg 100＝x，则10x＝100， ∵102＝100，∴x＝2，∴lg 100＝2. 题型三　利用对数的性质和对数恒等式求值 　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝71－log75. [解]　(1)因为log2(log5 x)＝0， 所以log5 x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3， 所以x＝103＝1000. (3)x＝71－log 5＝7÷7log 5＝7÷5＝. 1．利用对数的性质求解两类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2．性质alogaN＝N的作用 alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． 2．若3log3(2x＋1)＝27，则x＝________． 解析：由题知3log3(2x＋1)＝2x＋1＝27，解得x＝13. 答案：13 3．若logπ(log3(ln x))＝0，则x＝________． 解析：由题知log3(ln x)＝1，ln x＝3，得x＝e3. 答案：e3 1.知识网络 2．特别提醒 (1)两个式子中都含有三个相同的字母x，a，N，但它们在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中的名称和含义不同，取值及范围相同． (2)注意并不是每一个指数式都能直接改写为对数式，如(－2)4＝16不能改写成log(－2)16＝4，12＝1不能改写成log11＝2.