4.2.2 第1课时 指数函数的图象和性质(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4.2.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象和性质(一) 学习目标 1．掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题．　　 知识点　指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x＜0时， y∈(0，1)； 当x＞0时， y∈(1，＋∞) 当x＞0时， y∈(0，1)； 当x＜0时， y∈(1，＋∞) 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称 [微练1]　y＝()－x的图象可能是(　　) 答案：A [微练2]　函数f(x)＝3－ax＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(　　) A．(－1，2)　　　　　 B．(1，2) C．(－1，1) D．(0，2) 答案：A [微练3]　函数y＝0.7的定义域为________，值域为________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)　(0，1)∪(1，＋∞) 题型一　指数函数的定义域 (1)函数y＝33x＋1的定义域为________． (2)函数y＝3的定义域为________． (3)函数y＝的定义域为________． 解析：(1)根据函数t＝3x＋1的定义域得其定义域为R. (2)设＝t，根据函数t＝的定义域得其定义域为{x|x≥1}． (3)由题意，3x≥27，即x≥3，即函数的定义域为[3，＋∞)． 答案：(1)R　(2)[1，＋∞)　(3)[3，＋∞) 定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论． 题型二　指数函数的图象 角度1　图象的画法及辨识 　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c (2)函数y＝2|x|的图象是(　　) [解析]　(1)令x＝1，可知①y＝a，②y＝b， ③y＝c，④y＝d，∴c＞d＞1＞a＞b. (2)∵y＝2|x|＝故选B． [答案]　(1)B　(2)B 角度2　图象过定点 　　　　　　　　　　　　　　　　 　若函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，4)，则m＋n等于(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－2 [解析]　∵指数函数f(x)＝2ax＋m－n的图象恒过定点(－m，2－n)， ∴－m＝－1，∴m＝1，2－n＝4，n＝－2， ∴m＋n＝1－2＝－1. [答案]　C 角度3　图象的应用 　(1)(多选题)若函数y＝ax－(b＋1)(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有(　　) A．0＜a＜1 B．a＞1 C．b＞0 D．b＜0 (2)已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． [解析]　(1)由指数函数的性质知，若0＜a＜1，函数y＝ax－(b＋1)(a＞0且a≠1)的图象必过第二象限，而已知函数图象过第一、三、四象限，所以a＞1.当a＞1时，要使函数图象过第一、三、四象限，则b＋1＞1，即b＞0，故选BC． (2)作出函数y＝|2x－2|的图象如图所示．要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0＜2a＜2，即0＜a＜1，故实数a的取值范围为(0，1)． [答案]　(1)BC　(2)(0，1) 与指数函数相关的图象问题 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可． (2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”． (3)底数大小：对于y＝a，y＝a，y＝a，y＝a，如图，0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1. 1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 解析：D　从题图曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0. 2．已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为(　　) 解析：B　f(1－x)＝21－x＝()x－1，其图象可由函数y＝()x的图象向右平移1个单位得到．故选B． 3．已知直线y＝a与函