4.2.1 指数函数的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．2　指数函数 4．2.1　指数函数的概念 学习目标 1．理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．　　 知识点　指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R． 指数函数的结构特征 [微练1]　函数y＝(a－2)ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3　　　 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞1且a≠1 解析：C　令a－2＝1，∴a＝3. [微练2]　若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________． 解析：设f(x)＝ax，∴f(2)＝a2＝2，∴a＝. 所以f(x)＝()x. 答案：()x 题型一　指数函数的概念 1．下列函数中是指数函数的是________(填序号)． (1)y＝x2；(2)y＝3x；(3)y＝－4x；(4)y＝(－5)x；(5)y＝ex；(6)y＝xx；(7)y＝3·2x；(8)y＝22x＋1. 解析：(1)中自变量x为底数，故不是指数函数；(3)中系数是－1，而不是1，故不是指数函数；(4)中底数为－5，小于零，故不是指数函数；(6)中底数为x，故不是指数函数；(7)中系数为3，故不是指数函数；(8)中指数为2x＋1，是x的一次函数，而不是自变量x，故不是指数函数． 答案：(2)(5) 2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________． 解析：由指数函数的特征知， a2－3a＋3＝1，即a2－3a＋2＝0， ∴(a－2)(a－1)＝0， ∵a＞0且a≠1，∴a＝2. 答案：2 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求． (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求． 题型二　求指数函数的解析式或函数值 　(1)(链接教材P114例1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________． (2)设f(x)＝且f(－)＝，f(－3)＝8.则f(－2)＋f(－4)________． [解析]　(1)设f(x)＝ax(a＞0且a≠1) ∴a2＝9，a＝3.∴f(x)＝3x. (2)当x≥－2时，f(x)＝ax(a＞0，a≠1)， 由f(－)＝得，a－＝， ∴a＝3，又f(－2)＝a－2， ∴f(－2)＝3－2＝. 当x＜－2时， f(x)＝bx(b＞0，b≠1) ∴f(－3)＝8，∴b－3＝8，∴b＝， ∴f(－4)＝()－4＝24＝16， ∴f(－2)＋f(－4)＝＋16＝. [答案]　(1)3x　(2) 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)； (2)利用已知条件求底数a； (3)写出指数函数的解析式． 1．已知指数函数f(x)的图象过点(，)，则f(x)＝________，[f(2)]2的值为________． 解析：设f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，∴a＝. ∴a＝，f(x)＝()x，∴f(2)＝()2＝. ∴[f(2)]2＝()2＝. 答案：()x　 题型三　指数型函数的实际应用 　(链接教材P114例2)某林区2022年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域． [解]　现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)． 经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2. ∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x. ∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x. 函数的定义域为x∈N*. 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型． 2.有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水．现把桶A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数．假设5分钟后，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有升，必须再经过(　　) A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 解析：B　经过5分钟，桶A剩余y1＝am5(升)，则流入到桶B中的水为a－am5(升)， 由题意得am5＝a－am5，∴m5＝. ∴m20＝()4. 经过x分钟桶A的水剩余amx＝. ∴mx＝，∴x＝20，20－5＝15，故选B． 拓展提升 为什么规定底数a＞0，且a≠1? (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (2)若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义