4.1 第2课时 分数指数幂、无理数指数幂及其运算性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　分数指数幂、无理数指数幂及其运算性质 学习目标 1．能够在具体的数学情境中，了解分数指数幂a(a>0，m，n∈N*，n>1)和实数指数幂ax(a>0，x∈R)的含义.2.能够运用指数幂的运算性质进行运算．　 知识点一　分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是： a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 分数指数幂a是根式的一种新写法，不能理解为个a相乘．通过建立n次方根与分数指数幂的关系，把整数指数幂推广到了分数指数幂． 知识点二　无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． [微练1]　根式化为分数指数幂为____________． 答案：m－ [微练2]　3化为根式为________． 答案： 知识点三　指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． [微练3]　计算(π－3)0＋3－1×(2)的结果为________． 解析：原式＝1＋×＝1＋＝. 答案： [微练4]　计算3－1·32－＝________． 解析：3－1·32－＝3－1＋2－＝3. 答案：3 题型一　根式与分数指数幂的互化 把下列根式化为分数指数幂的形式，把分数指数幂化为根式的形式： (1)(a－b)－(a>b)；(2)；(3)；(4)；(5) . 解：(1)(a－b)－＝. (2)＝(ab)＝ab. (3)＝(x－1). (4)＝a－. (5)＝＝＝＝＝2. 根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [提醒]　如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出． 题型二　利用指数幂的运算性质化简求值 　(链接教材P106例2、例4)计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－－3π0＋； (2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (3)2÷4·3. [解]　(1)原式＝()＋()－2＋()－－3＋＝＋100＋－3＋＝100. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 ＝－ac－1＝－. (3)原式＝2a÷4(ab)·(3b) ＝a－·b－·(3b) ＝ab. (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 1．计算：(1)()－1＋8＋(－1)0； (2)4＋1·23－2·8－. 解：(1)原式＝2＋(23)＋1＝2＋22＋1＝7. (2)原式＝(22)＋1·23－2·(23)－＝22＋2·23－2·2－2＝22＋2＋3－2－2＝23＝8. 2．化简()－×(a>0，b>0)． 解：原式＝4×0.12· ＝2××8＝. 题型三　实数指数幂的综合运用 　(链接教材P110T8)已知a＋a－＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2. [解]　(1)将a＋a－＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9， ∴a2＋a－2＝7. (3)令y＝a2－a－2，两边平方，得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3，即a2－a－2＝±3. [发散思维] 　(变结论)若本例题条件不变，求a3＋a－3的值． 解：a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2＋a－2－1)＝3×(7－1)＝18. (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． 3．已知x＋x－＝3，则的值为________． 解析：将已知式子两边平方得(x＋x－)2＝9，则x＋x－1＝7，再平方并化简得x2＋x－2＝47，x＋x－＝(x＋x－)(