4.1 第1课时 n次方根-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

4．1　指数 第1课时　n次方根 学习目标 1．理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值．　 知识点　根式 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为． a<0 x<0 n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为± a<0 x在实数范围内不存在 特别地，0的任何次方根都是0，记作＝0 2.根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质(n>1，且n∈N*)： ①()n＝a； ②当n为奇数时， ＝a； 当n为偶数时， ＝|a|＝ (1)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a. (2) 是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a. [微练1]　(多选题)下列说法中正确的是(　　) A．＝3 B．16的4次方根是±2 C．＝±4 D．＝|x＋y| 解析：BD　负数的3次方根是一个负数，＝－3.故A错误；16的4次方根有两个，为±2，故B正确；＝4，故C错误；是非负数，所以＝|x＋y|，故D正确． [微练2]　已知m10＝2，则m＝(　　) A．　　　　　　　 B．－ C． D．± 解析：D　因为m10＝2，所以m是2的10次方根．又10是偶数， 所以2的10次方根有两个，且互为相反数． 所以m＝±. [微练3]　在① ；② ；③ ；④ (n∈N，a∈R)各式中，一定有意义的是________(填序号)． 解析：(－4)2n＞0，故①有意义；(－4)2n＋1＜0，故②无意义；③显然有意义；当a＜0时，a5＜0，此时无意义，故④不一定有意义． 答案：①③ 题型一　n次方根的概念 (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________． (2)已知x7＝6，则x＝________． (3)若有意义，则实数x的取值范围是________． 解析：(1)因为(±4)2＝16，所以16的平方根为±4；－27的5次方根为. (2)因为x7＝6，所以x＝. (3)要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． 答案：(1)±4　　(2)　(3)[2，＋∞) 判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号． 题型二　利用根式的性质化简与求值 　(链接教材P105例1)化简： (1) ； (2) ＋()5； (3) ＋( )6； (4) ； (5) － ＋ . [解]　(1) ＝ ＝－. (2)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (3)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. (4)原式＝|x＋2|＝ (5)原式＝ － ＋ ＝＋－(2－)＋2－＝2. 根式化简求值的解题思路 解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答． 1．化简下列各式： (1)＋ ； (2)＋＋. 解：(1)因为＝|3－π|＝π－3， ＝－π－3. 所以原式＝π－3－π－3＝－6. (2)原式＝|－5|＋＋＝5＋2－3＝4. 题型三　有限制条件的根式化简 　若－3<x<3，求－的值． [解]　－＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 综上，原式＝ [发散思维] 若将本例的条件改为“x≤－3”，求－的值． 解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4. 带条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 2．若n<m<0，则 －＝(　　) A．2m　　　　　　　　 B．2n C．－2m D．－2n 解析：C　原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，因为n<m<0，所以m＋n<0，m－n>0，所以原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m. 3.若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　) A．x>0，y>0 B．x>0，y<0 C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0 解析：B　因为＝2|xy|＝－2xy， 所以xy≤0.又因为xy≠0，所以xy<0，故选B． 1.知识网络 2．特别提醒 在