3.4 函数的应用(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3.4　函数的应用(一) 学习目标 1．初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用.2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题．　　 知识点　常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0，a≠1) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)＝ 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) [微练1]　某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量呈一次函数关系，其图象如图所示．由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A．3100元　　　　　 B．3000元 C．2900元 D．2800元 解析：B　由题意，设函数解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，将(1，8000)，(2，13 000)，代入f(x)， 则 解得 则f(x)＝5000x＋3000， 当x＝0时，f(0)＝3000. [微练2]　一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为(　　) A．y＝20－x(0<x<10) B．y＝20－2x(0<x<20) C．y＝40－x(0<x<10) D．y＝40－2x(0<x<20) 解析：A　由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，又20－x>x，所以0<x<10.故选A． [微练3]　向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状可能是(　　) 解析：A　从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A． 题型一　一次函数模型的应用 　商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠活动： (1)买一只茶壶赠送一只茶杯； (2)按购买总价的92%付款． 某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若购买x只茶杯时总付款为y元，试分别建立两种优惠活动中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠活动？ [解]　设优惠活动(1)，(2)对应的付款分别为y1元，y2元． 由优惠活动(1)得函数关系式为 y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)． 由优惠活动(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)． 当该顾客购买茶杯40只时，采用优惠活动(1)应付款y1＝5×40＋60＝260(元)；采用优惠活动(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6(元)．由于y2<y1，故应选择优惠活动(2)． 用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点 (1)原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单． (2)关注点：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题，可先结合图象利用待定系数法求出解析式，对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a>0时为增函数，当a<0时为减函数，另外，要结合题目理解(0，b)或(－，0)这些特殊点的意义． 1．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 解：(1)由题中图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)． (2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜． 题型二　二次函数模型的应用 　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ [解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的