3.3 幂函数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3.3　幂函数 学习目标 1．能够通过给出的具体实例，得出幂函数的概念.2.能够结合五个具体的幂函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，通过归纳，抽象概括出五个幂函数的基本性质．　　 知识点一　幂函数的概念 1．幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征 (1)xα的系数为1； (2)xα的底数是自变量； (3)xα的指数为常数． 只有满足这三个条件特征，才是幂函数，对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数． [微练1]　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝2x2是幂函数．(×) (2)函数f(x)＝2x是幂函数．(×) (3)函数f(x)＝(x＋1)3不是幂函数．(√) [微练2]　若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(x)＝________． 解析：设f(x)＝xα，由题意得＝2α，∴α＝. 即f(x)＝x. 答案：x 知识点二　常见幂函数的图象与性质 1．五种常见幂函数的图象 2．五类幂函数的性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0， ＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0， ＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非 奇非偶 奇函数 单调性 增 函数 x∈[0，＋∞)， 单调递增；x∈(－∞，0)，单调 递减　　 增 函数 增函数 x∈(0，＋∞)单调递减；x∈(－∞，0)，单调递减 公共点 都经过点(1，1) 幂函数的图象不经过第四象限． [微练3]　函数f(x)＝－x3的图象是(　　) 解析：B　f(x)＝－x3与f(x)＝x3关于x轴对称．故选B． [微练4]　函数y＝x－3在区间[－4，－3]上的最小值为________． 解析：因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝－3时， ymin＝(－3)－3＝＝－. 答案：－ 题型一　幂函数的概念 1．在函数y＝，y＝2＋x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析：B　y＝＝x－2，y＝x－2是幂函数，其余都不是幂函数． 2．若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．－1 D．3 解析：A　因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以 所以m＝1. 3．已知幂函数f(x)的图象过点(4，)，且f(x)＝8，则x＝(　　) A．2 B．64 C． D． 解析：D　设f(x)＝x α，将点(4，)代入得＝4α， 所以α＝－，所以f(x)＝x－. 令x－＝8，得x＝8－2＝. 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式． 题型二　幂函数的图象及应用 　(1)幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x－在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C1，C2，C3，C4　　　 B．C1，C4，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 (2)点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： ①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)． (1)[解析]　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－在第一象限内的图象为C3. [答案]　D (2)[解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示． 由图象知， ①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x∈(0，1)时，f(x)<g(x)． 解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断． 1.已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D