3.2.2 第2课时 奇偶性的应用(习题课)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　奇偶性的应用(习题课) 学习目标 1．掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．　　 题型一　利用奇偶性求函数的解析式 　(链接教材P86T11)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式． [解]　当x<0时，－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)． 所以x<0时，f(x)＝－x2－2x＋1. 当x＝0时，f(0)＝0， 故f(x)＝ (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． (2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解． [提醒]　若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 1．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝.　① 用－x代替上式中的x，得 f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，　② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 题型二　利用函数奇偶性与单调性比较大小 　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)<f(0)<f(－1) B．f(－1)<f(－0.5)<f(0) C．f(0)<f(－0.5)<f(－1) D．f(－1)<f(0)<f(－0.5) [解析]　∵函数f(x)为奇函数， 且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在R上单调递增， ∴f(－1)<f(－0.5)<f(0)． [答案]　B 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小． 2．若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　) A．f(－)<f(－1)<f(2) B．f(2)<f(－)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(－) D．f(－1)<f(－)<f(2) 解析：B　∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，f(2)＝f(－2)，又f(x)在(－∞，－1]上是增函数，∵－2＜－＜－1，∴f(－2)＜f(－)＜f(－1)．故选B． 题型三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式 　设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [解]　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减，所以f(x)在[－2，2]上单调递减． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围为[－1，)． [发散思维] (变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增， 原不等式可化为f(|1－m|)<f(|m|)， 故可得即 解得<m≤2.故实数m的取值范围为(，2]． 利用函数的奇偶性、单调性解不等式 (1)奇函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接脱去“f”，得到a，b的大小的不等式； (2)偶函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑|a|，|b|的大小的不等式． 3．已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数，又是增函数．解关于t的不等式f(t－1)＋f(2t－3)<0. 解：因为f(x)为(－2，2)上的奇函数，所以f(t－1)＋f(2t－3)<0可化为f(t－1)<f(3－2t)， 又因为函数f(x)在(－2，2)上是增函数，所以－2<t－1<3－2t<2，解得<t<， 所以关于t的不等式f(t－1)＋f(2t－3)<0的解集为(，)． 特别提醒 根据奇、偶函数的图象特征可得出结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性，简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点的区间上有相同的最大(最小)值，取最值时的