3.2.2 第1课时 奇偶性的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 学习目标 1．了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题．　　 知识点　奇函数与偶函数 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)图象特征：偶函数的图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (2)图象特征：奇函数的图象关于原点对称． 3．函数奇偶性的判断 函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 定义域I具有对称性，即∀x∈I，－x∈I.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数． 如f(x)＝x2，x∈R是偶函数，但f(x)＝x2，x∈[－1，2]是非奇非偶函数. [微练1]　下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝|x|　　　　 B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14 解析：C　A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C． [微练2]　下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号) 解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数． 答案：②④　①③ [微练3]　若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________． 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0. 答案：－2　0 [微练4]　若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a＝____________. 答案：2 题型一　判断函数的奇偶性(师生共研) 　(链接教材P84例6)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4＋2x2＋3； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝(x－2)·； (4)f(x)＝＋； (5)f(x)＝. [解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＋3＝x4＋2x2＋3＝f(x)，是偶函数． (2)原函数定义域为 ∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称． 此时f(x)＝＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝为奇函数． (3)由题意，得∴－2≤x<2， 故f(x)的定义域为[－2，2)，不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)由得x2＝1，∴x＝1或x＝－1， 此时f(x)＝0，故f(x)既是奇函数，又是偶函数． (5)函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ①当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)． ②当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)． 由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时， 都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法： (2)图象法： 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋ (2)f(x)＝2(x∈R) (3)f(x)＝x－ 解：(1)由得x＝1. 即定义域为{x|x＝1}，不关于原点对称， 故f(x)为非奇非偶函数． (2)∵x∈R，f(x)＝2，f(－x)＝2， ∴f(x)＝2为偶函数． (3)因为函数的定义域为{x|x≠0} f(－x)＝－x＋＝－(x－)＝－f(x)， ∴f(x)＝x－为奇函数． 题型二　奇函数与偶函数图象的应用 　(链接教材P85练习T1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请把函数y＝f(x)的图象补充完整； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． [解]　(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)由图象可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． [发散思维] (变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解：(1)由题意作出函数图象如图所示： (2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－1，1)． (3)由图象可