3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　函数的最大(小)值 学习目标 1．了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题．　　 知识点　函数的最大值与最小值 1．函数的最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M． 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．函数的最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M． 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值． [微练1]　函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，0　　　　　　 B．0，2 C．－1，2 D．，2 答案：C [微练2]　函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小值、最大值分别为(　　) A．3，5 B．－3，5 C．1，5 D．5，－3 答案：B [微练3]　函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________． 解析：函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0. 又0∈[－1，2]，所以f(x)max＝f(0)＝2. 答案：2 题型一　图象法求函数的最值 1．已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． 解：作出函数f(x)的图象，如图．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 2．函数f(x)＝x2－x(1≤x≤2)的最小值为____________，最大值为____________． 解析：作出函数f(x)＝x2－x的图象如图，由图象可得f(x)在[1，2]上单调递增， ∴f(x)min＝f(1)＝0， f(x)max＝f(2)＝4－2＝2. 答案：0　2 图象法求函数最值的一般步骤 题型二　利用函数的单调性求函数的最值 　(链接教材P81例5)已知函数f(x)＝. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下： 取∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为－1<x1<x2，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知f(x)在区间[2，4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，最大值为f(4)＝＝. 函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)； (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 1．函数y＝－|x－1|＋2，x∈[－2，3]的最大值为____________，最小值为____________． 解析：当x∈[－2，1]时，函数y＝－(1－x)＋2＝x＋1为增函数，当x∈[1，3]时，函数y＝－(x－1)＋2＝－x＋3为减函数． ∴f(x)max＝f(1)＝2， 又∵f(－2)＝－2＋1＝－1，f(3)＝0， ∴f(x)min＝－1. 答案：2　－1 题型三　求函数最值的实际问题 　由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是P＝日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(t≤30，t∈N*)． (1)设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式； (2)求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？ [解]　(1)当t<25，t∈N*时， y＝(t＋20)(－t＋40)＝－t2＋20t＋800， 当25≤t≤30，t∈N*时，y＝45(－t＋40)＝－45t＋1800. 所以y＝ (2)当0<t<25，t∈N*时，y＝－t2＋20t＋800＝－(t－10)2＋900， 故当t＝10时，y有最大值900； 当25≤t≤30，t∈N*时，y＝－45t＋1800为减函数，故当t＝25时，y有最大值