3.2.1 第1课时 函数的单调性-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3.2　函数的基本性质 3．2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 学习目标 1．能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性．　　 知识点一　增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 图①　　　　　　　　图② (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． x1，x2的三个特征 (1)同区间性，即x1，x2∈D； (2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代替x1，x2； (3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2. [微练1]　(多选题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝－　　　　 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x 答案：ABC [微练2]　若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　) A．k> B．k>－ C．k< D．k<－ 答案：C 知识点二　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． [微练3]　函数f(x)＝的单调递减区间为____________． 答案：(0，＋∞)，(－∞，0) [微练4]　函数f(x)＝x2＋2x＋1的单调递减区间是________． 答案：(－∞，－1] 题型一　函数单调性的判定与证明 　(链接教材P78例1)试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减． [证明]　f(x)＝2＋， ∀x1，x2∈(1，＋∞)且x1>x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝， 因为x1>x2>1， 所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是给定区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论； (4)结论：根据定义确定单调性． 1．证明：函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增． 证明：∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋) ＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)·(1－) ＝. ∵x2>x1>1， ∴x1－x2<0，x1x2>1，则－1＋x1x2>0， ∴<0， 即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上单调递增． 题型二　利用图象求函数的单调区间 　画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间． [解]　y＝|x|(x－2) ＝ 函数的图象如图中实线部分所示． 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)． 求函数单调区间的两种方法 (1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； (2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． [注意]　如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接． 2．函数y＝|－x2＋2x|的单调递减区间为________________． 解析：作出函数y＝|－x2＋2x|＝|x2－2x|的图象如图，所以递减区间为(－∞，0)，(1，2) 答案：(－∞，0)，(1，2) 题型三　函数单调性的应用 角度1　比较大小或解不等式 　(1)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，试比较f(a2－a＋1)与f()的大小． (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________________． (1)[解]　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥， ∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值． ∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴f()≥f(a2－a＋1)． (2)[解析]　∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的