3.1.1 第2课时 函数的概念(二)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　函数的概念(二) 学习目标 1．会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的值域．　　 知识点一　区间的概念及表示 1．区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.无穷概念及无穷区间表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；(2)∞是一个符号，而不是一个数；(3)区间[a，b]或(a，b)中，必有a<b，如区间(0，1)不能写为(1，0)． [微练1]　若[0，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________． 解析：根据区间表示数集的方法可知，3a－1>0，解得a>，所以a的取值范围是(，＋∞)． 答案：(，＋∞) [微练2]　区间(－3，2]用集合可表示为(　　) A．{－2，－1，0，1，2}　 B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} 答案：C 知识点二　同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 如：函数f(x)＝x＋1，x∈R与函数g(t)＝t＋1，t∈R表示的是同一个函数． [微练3]　下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝x＋3 B．y＝－1与y＝x－1 C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z 解析：C　只有y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)的定义域、对应关系相同． [微练4]　函数f(x)＝3x2的定义域为________，值域为________． 答案：R(或(－∞，＋∞))　{y|y≥0}(或[0，＋∞)) 题型一　区间的应用 把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}； (5){x|x>－1且x≠2} 解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)； (2){x|x<0}＝(－∞，0)； (3){x|－1<x<1}＝(－1，1)； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]； (5){x|x>－1且x≠2}＝(－1，2)∪(2，＋∞)． 用区间表示数集的注意事项 (1)区间两端点之间用“，”隔开． (2)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (3)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，必须用小括号． 题型二　同一个函数的判定 下列各组函数： (1)f(x)＝，g(x)＝x－1； (2)f(x)＝，g(x)＝； (3)f(x)＝·，g(x)＝； (4)f(x)＝，g(x)＝x＋3； (5)汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填序号)． 解析：(1)不是同一个函数，定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R. (2)不是同一个函数，对应关系不同， f(x)＝，g(x)＝. (3)是同一个函数，定义域、对应关系都相同． (4)不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3. (5)是同一个函数，定义域、对应关系都相同． 答案：(3)(5) 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 题型三　求函数的值域 　求下列函数的值域． (1)y＝－1； (2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y＝； (4)y＝2x－. [解]　(1)因为≥0，所以－1≥－1， 所以y＝－1的值域为[－1，＋∞)． (2)因为x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，所以y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}． (3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4)(换元法)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，所