3.1.1 第1课时 函数的概念(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 学习目标 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　 知识点　函数的概念 1．定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 2．记法：y＝f(x)，x∈A． 3．相关概念 定义域：x的取值范围A； 值域：与x的值对应的y值叫做函数值，即集合{f(x)|x∈A}． (1)函数的定义域、对应关系和值域为函数的三要素． (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (3)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与 x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． [微练1]　(多选题)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 解析：AD　A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系． [微练2]　已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝(　　) A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．2 解析：C　因为g(x)＝2x2－1， 所以g(1)＝2×12－1＝1. [微练3]　函数f(x)＝的定义域是(　　) A．{x|x<4} B．{x|x≤4} C．{x|x>4} D．{x|x≥4} 解析：A　由4－x>0，解得x<4，所以此函数的定义域为{x|x<4}. 题型一　函数的概念 1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的个数为(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：B　①错误，1<x≤2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．②正确，同时满足任意性与唯一性．③错误，x＝0或x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性．④错误，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．故选B． 2．(多选题)下列对应关系f是从集合A到集合B的函数的有(　　) A．A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8 B．A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1 C．A＝B＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1 D．A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1 解析：ABD　对于集合A，B，集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此A，B中的对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．对于C，集合A中的值3在集合B中没有与之对应的值，因此对应关系f不是从集合A到集合B的一个函数．对于D，对于集合A中的任意一个值x，与之对应的2x＋1的值是唯一确定的，又当x≥－1时，2x＋1≥－1，所以对应关系f是从集合A到集合B的一个函数，可以表示为f(x)＝2x＋1，x≥－1. 1．判断对应关系是否为函数的两个条件 (1)A、B必须是非空实数集； (2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 题型二　函数的三要素及函数值 角度1　函数的三要素 　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为________，值域为________． (2)函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为________． x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 (3)函数y＝－的定义域为________． (4)若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0