2.3 第2课时 一元二次不等式的应用(习题课)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　一元二次不等式的应用(习题课) 学习目标 1．能解决与一元二次不等式有关的问题，能解简单的分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．　 题型一　简单的分式不等式 解下列不等式： (1)≥0；(2)>1； (3)≥2. 解：(1)原不等式等价于 即∴－2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}． (2)原不等式可化为－1>0，即<0. ∴(3x－2)(4x－3)<0，∴<x<. ∴原不等式的解集为. (3)由≥2， 得即 ∴原不等式的解集为{x|－≤x<1或1<x≤3}． 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型二　不等式恒成立问题 角度1　在R上恒成立问题 　已知函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，不等式y<0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于一切实数x，不等式y≥－2恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0恒成立．若m≠0， 则解得－4<m<0. 综上可知，m的取值范围是－4<m≤0. (2)不等式y≥－2，即为mx2－mx＋1≥0. 若m＝0，则不等式即为1≥0，显然恒成立； 若m≠0，则应有解得0<m≤4. 综上，实数m的取值范围是0≤m≤4. 角度2　在给定范围上恒成立问题 　(1)命题“∃x∈{x|x>0}，x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为__________． (2)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． (1)[解析]　命题的否定为∀x∈{x|x>0}， x2－3ax＋9≥0，是真命题， ∴3a≤x＋，即a≤＋，对∀x∈{x|x>0}恒成立， 又当x＞0时，＋≥2 ＝2，(当且仅当x＝3时取“＝”) ∴a≤2. [答案]　{a|a≤2} (2)[解]　令y＝x2＋mx＋4， ∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 ∴实数m的取值范围是{m|m<－5}． 1．一元二次不等式在R上恒成立问题的解法 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 2．在给定范围上的恒成立问题的解法 法一：①当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 法二：分离参数，转化为函数的最大(小)值问题． 1．若使有意义的x取值为实数集R，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－2<a<2} B．{a|a<－2或a>2} C．{a|a≤－2或a≥2} D．{a|－2≤a≤2} 解析：D　由题意得x2＋ax＋1≥0对∀x∈R恒成立． ∴Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2，选D． 2．若对x∈{x|－3≤x≤－1}上恒有x2－ax－3<0成立，则a的取值范围是________． 解析：要使x2－ax－3<0在x∈{x|－3≤x≤－1}上恒成立， 则必使函数y＝x2－ax－3在x∈{x|－3≤x≤－1}上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时a应满足： ，即 解得a<－2. 故当a∈{a|a<－2}时，有x2－ax－3<0在x∈{x|－3≤x≤－1}时恒成立． 答案：{a|a<－2} 题型三　一元二次不等式的实际应用 　(2022·泰安高一检测)某种商品原以每件20元的价格销售，可以售出300件．据市场调查，商品的单价每提高2元，销售量就可能减少10件．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于6000元？ [解]　设提价后每件产品的定价为x元， 则销售总收入为(300－×10)x元． 根据题意，有(300－×10)x≥6000. 整理，得x2－80x＋1200≤0. 解得20≤x≤60. 所以，当每件产品的定价不低于20元且不超过60元时，才能使提价后的销售总收入不低于6000元． 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系． (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 3.某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确