2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1．从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．从而求解一元二次不等式． 知识点一　一元二次不等式 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． [微练1]　一元二次函数y＝x2＋2x＋1的零点是(　　) A．(0，1)　　　　　 B．(－1，0) C．1 D．－1 答案：D 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1, x2(x1< x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ (1)ax2＋bx＋c＝0的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标； (2)ax2＋bx＋c>0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合； (3)ax2＋bx＋c<0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合． [微练2]　不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　　) A．　　 B． C．∅ D．R 解析：D　因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. [微练3]　一元二次不等式(x＋2)(5－x)>0的解集为(　　) A．{x|x<－2或x>5} B．{x|x<－5或x>2} C．{x|－2<x<5} D．{x|－5<x<2} 解析：C　原一元二次不等式可化为(x＋2)·(x－5)<0，解得－2<x<5，所以原不等式的解集为{x|－2<x<5}．故选C． 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法 (链接教材P52例2、例3)解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－x2＋3x－5>0； (5)2x2＋5x－3<0； (6)4x2＋4x＋1>0. 解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为(2x－)2≤0， 所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. (5)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 图① 由图象可得原不等式的解集为. (6)Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图②所示． 图② 由图象可得原不等式的解集为. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正； (2)判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式； (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根； (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． 题型二　解含参数的一元二次不等式 　(链接教材P58T6)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　当a＝0时，不等式可化为－x＋1<0， 解集为{x|x>1}． 当a<0时，不等式可化为(x－)(x－1)>0， ∵a<0，∴<1，∴不等式的解集为. 当a>0时，不等式可化为(x－)(x－