2.2 第2课时 基本不等式的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　基本不等式的应用 　学习目标 1．熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．　 知识点　基本不等式链 1．若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数，和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数． 2．一般来说，以下四组不等式可以作为基本不等式的应用形态： (1)＋≥(a>0，b>0)； (2)＋≥(a>0，b>0)； (3)(a＋b)(＋)≥4(ab>0)； (4)≥()2(a，b∈R). 题型一　利用基本不等式比较大小 　已知0<a<1，0<b<1，则a＋b，2，a2＋b2，2ab中哪一个最大？ [解]　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2， a2＋b2≥2ab， 所以四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2. 又因为0<a<1，0<b<1， 所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b ＝a(a－1)＋b(b－1)<0， 所以a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大． 利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小，达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向． 1．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b 解析：B　法一：因为b>a>0， 所以>，2b>b＋a， 所以b>，<，所以a<. 所以a<<<b. 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a<<<b. 题型二　利用基本不等式证明不等式 　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9. [证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立， 所以＋＋≥9. 利用基本不等式证明不等式的关键点 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． 2．已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c>＋＋. 证明：因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．所以a＋b＋c>＋＋. 题型三　基本不等式的实际应用 　(链接教材P46例3)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． [解]　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 由已知xy＝16， 由≥，可知x＋y≥2＝8， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值．利用基本不等式求最值； (3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意； (4)得出结论． 3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价． 解：设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，总造价为y元， 由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m， 所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80， 由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20×2＋80＝160(元)， 当且仅当a＝b＝2时，等号成立，因此，该容器的最低总造价为160元． 1.知识网络 2．特别提醒 若a＞0，b＞0，c＞0，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 课时规范训练 A　基础巩固练 1．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4　　　　　 B．a2＋b2≥4ab C． ≥ D．x2＋≥2 解析：D　若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确． 2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 解析：A　因为b2＋1≥2b，所以a＋2b≤a＋b2＋1.即s≥t. 3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　) A．ab≤()2 B．ab≤ C．≥ D．≤()2 解析：D　由基本不等式知A正确