2.2 第1课时 基本不等式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学习目标 1．了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．　　 知识点一　重要不等式与基本不等式 1．重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式：如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (1)“当且仅当”的含义 ①当a＝b时等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时等号成立，即＝⇒a＝b“当且仅当”表示充要条件． (2)基本不等式的常见变形 ①a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)； ②ab≤()2≤(其中a∈R，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立)． [微练1]　下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋(－)2≤－2 答案：C [微练2]　当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______．(填序号) ①≥ ；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错误，只有③正确． 答案：③ 知识点二　利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)若和x＋y等于定值S，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若积xy等于定值P，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． [微练3]　已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　　) A．10 B．25 C．5 D．2 解析：D　a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立． [微练4]　已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　) A．100 B．50 C．20 D．10 解析：B　由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，当且仅当m＝n＝±5时等号成立．故选B． 题型一　对基本不等式的理解 1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 解析：D　由基本不等式知，只有D选项正确． 2．给出下面推导过程： ①因为a，b>0，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：B　①因为a>0，b>0，所以>0，>0，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②因为a∈R，不符合基本不等式的条件， 所以＋a≥2＝4是错误的； ③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将全体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确． 基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”． 题型二　利用基本不等式求最值 角度1　直接应用基本不等式 　(链接教材P45例1、例2)(1)若x>0，求y＝4x＋的最小值． (2)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 (3)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 (1)[解]　∵x>0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2＝2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时，y＝4x＋取最小值12. [解析]　(2)∵x>0，y>0， ∴≤＝＝9， ∴xy≤81，当且仅当x＝y＝9时，取“＝”． (3)∵m>0，n>0， ∴m＋n≥2＝2＝18， 当且仅当m＝n＝9时，取等号， 因此所求的最小值为18. [答案]　(2)C　(3)D 利用基本不等式求最值的策略 1．若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　) A． B．1 C．2 D．4 解析：A　∵a>0，b>0，a＋2b＝2， ∴a＋2b＝2≥2， 即ab≤，当且仅当a＝1，b＝时等号成立． 角度2　间接利用基本不等式 　(1)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值． (2)当x>0时，y＝的最小值为____________． (3)当x>3时，y＝2x＋的最小值为____________． (1)[解]　∵0<x<，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2[]2＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”． ∴y的最大值为. [解析]　(2)当x>0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝