2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　等式性质与不等式性质 学习目标 1．了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．　　 知识点一　等式的性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝． 知识点二　不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向 可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N，n≥2) 同正 [微练1]　已知a>b，c>d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．ad>bc　　　　　 B．ac>bd C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 解析：D　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C．由不等式的性质5知，D一定成立． [微练2]　已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 解析：C　因为a＋b>0，所以a>－b，b>－a；因为b<0，所以－b>b，所以a>－b>b>－a.故选C． [微练3]　若a>b>0，则下列不等式关系中不一定成立的是(　　) A．a＋c>b＋c B．ac>bc C．a2>b2 D．> 解析：B　因为a>b>0，由不等式的性质3，可得A正确；由不等式的性质7，可得C正确；由不等式的可开方性，可得D正确；根据不等式的性质4，在不等式两边同乘c，当c<0时，ac<bc，所以B不一定成立．故选B． 题型一　判断不等式命题的真假 　对于实数a，b，c，判断下列结论是否正确； (1)若a>b，则a3>b3； (2)若a<b<0，则a2>ab>b2； (3)若c>a>b>0，则>； (4)若a>b，>，则a>0，b<0； (5)若a<b<0，则>. [解]　(1)因为a3，b3不改变a，b的符号，即符合不等式的可乘方性，故该结论正确． (2)由可得a2>ab.因为所以ab>b2，从而有a2>ab>b2，故该结论正确． (3)由a>b>0，可得－a<－b<0.因为c>a>b＞0，所以0<c－a<c－b，因此>>0，于是>.故该结论正确． (4)由>，可知－＝>0.因为a>b，所以b－a<0，于是ab<0.又因为a>b，所以a>0，b<0.故该结论正确． (5)依题意取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，显然<.故该结论错误． (1)解决这类问题时，通常有两种方法：一是直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种方法． (2)注意正确的倒数法则，应该是a>b，ab>0⇒<，不能误认为是a>b⇒<，在应用时不能出错． 1．(多选题)已知<<0，则下列结论正确的是(　　) A．a<b　　　　　　 B．ab>a＋b C．|a|<|b| D．ab>b2 解析：BC　由<<0可得b<a<0，显然选项A不正确；因为b<a<0，所以ab>0，a＋b<0，所以ab>a＋b，故选项B正确；因为b<a<0，所以|b|>|a|，故选项C正确；因为b<a<0，所以b<0，a－b>0可得ab－b2＝b(a－b)<0，即ab<b2，故选项D不正确．故选BC． 题型二　利用不等式性质证明简单的不等式 　(链接教材P42例2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. [证明]　因为c<d<0，所以－c>－d>0.又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，所以(a－c)2>(b－d)2>0.两边同时乘以，得<.又e<0， 所以>. [发散思维] 　(变结论)若本例条件不变，求证：>. 证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0. 因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以0<<， 又因为e<0，所以>. 1．利用不等式的性质证明不等式其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． 2．用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 2．已知a>b>0，求证：>. 证明：∵a>b>0，∴>>0.① 又∵a>b>0，两边同乘正数，得>>0.② 由①②得>. 题型三　利用不等式性质求代数式的取值范围 　已知－6<a<8，2<