2.1 第1课时 不等关系与不等式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 学习目标 1．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.学会用作差法比较两实数的大小．　　 知识点一　不等关系与不等式 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高 于，超过 小于，低于， 少于 大于等于， 至少，不低于 小于等于，至 多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确． [微练1]　某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　) A．v<60　　　　　　　 B．v>60 C．v≤60 D．v≥60 答案：C [微练2]　一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________． 答案：10y＋x>70 知识点二　实数大小比较的基本事实 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b．反过来也对． 这个基本事实表示为a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0． 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． [微练3]　设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有(　　) A．P≥Q B．P>Q C．P<Q D．P≤Q 解析：A　P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，∴P≥Q. [微练4]　已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　) A．p>q B．p≥q C．p<q D．p≤q 解析：C　p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1＜0，所以p＜q. 题型一　用不等式(组)表示不等关系 1．(链接教材P39练习T1)某车工计划15天加工零件408个，最初3天，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？若设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． 解析：因为该车工3天后平均每天至少需加工x个零件，则加工(15－3)天共加工12x个零件，15天共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408. 答案：72＋12x>408 2．下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x不高于2000元可表示为“x<2000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少是a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≥a” 解析：C　某人的月收入x不高于2000元可表示为“x≤2000”，所以A错误；小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x<y”，所以B错误；某变量x至少是a可表示为“x≥a”，所以C正确；某变量y不超过a可表示为“y≤a”，所以D错误． 3．某公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)． 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则 1．比较大小的两个量必须具有相同的性质才可以用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． 2．在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一． 3．注意变量的实际意义． 题型二　比较两个数(式)的大小 　(链接教材P38例1)(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R. [解]　∵x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1 ＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1) ＝(x2－1)2(x2＋1)≥0， ∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2. 当x≠±1时，x6＋1>x4＋x2. 综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号． (2)已知x<1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x<1得x－1<0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)<0， ∴3x3<3x2－x＋1. 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号． 变形有两种情形： ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． ②将差式通过配方转化为几