1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标 1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．　　 知识点　全称量词命题和存在量词命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 [微练1]　若命题p：∃x>0，x2－3x＋2>0，则命题p的否定为(　　) A．∃x>0，x2－3x＋2≤0 B．∃x≤0，x2－3x＋2≤0 C．∀x>0，x2－3x＋2≤0 D．∀x≤0，x2－3x＋2≤0 答案：C [微练2]　已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(　　) A．∃n∈N*，n2≤n－1 B．∀n∈N*，n2<n－1 C．∀n∈N*，n2≤n－1 D．∃n∈N*，n2<n－1 答案：A 题型一　全称量词命题的否定 (链接教材P29例3)写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解：(1)该命题的否定是存在一个平行四边形，它的对边不平行． (2)该命题的否定是∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根． (3)该命题的否定是∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)该命题的否定是存在被5整除的整数，末位不是0. 写全称量词命题的否定的两个关注点 (1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定． (2)有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”． 题型二　存在量词命题的否定 　(链接教材P30例4)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. [解]　(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． (2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． (3)该命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3. 当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 写存在量词命题的否定的两个关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后再否定． 题型三　利用命题的否定求参数的取值范围 　已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且p的否定是假命题，求实数a的取值范围． [解]　因为p的否定是假命题，所以p是真命题，又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}， 所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}， 则 解得－3≤a≤1， 即实数a的取值范围是－3≤a≤1. 1．命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； 2．求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围． 命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a， 所以2＋a≥3，即a≥1. 所以实数a的取值范围是a≥1. 1．知识网络 2．特别提醒 (1)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如，“三角形存在外接圆”是全称量词命题，量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是“有些三角形不存在外接圆”． (2)否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等． 课时规范训练 A　基础巩固练 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 解析：C　此全称量词命题的否定为∃x∈R，|x|＋x2<0. 2．命题“∃x>0，2x2＝5x－1”的否定是(　　) A．∀x>0，2x2≠5x－1 B．∀x≤0，2x2＝5x－1 C．∃x>0，2x2≠5x－1 D．∃x≤0，2x2＝5x－1 解析：A　存在量