1.5.1 全称量词与存在量词-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1．5.1　全称量词与存在量词 学习目标 1．理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．　　 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”． [微练1]　下列语句既是命题又是全称量词命题的是________． (1)对任意实数x，x2＋1≥2； (2)有一个实数a，a不能取对数； (3)负数的平方都是正数． 解析：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)中含有全称量词，(3)省略了全称量词“任意一个”，所以(1)(3)是全称量词命题． 答案：(1)(3) 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． [微练2]　下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任意一组对边都不相等 答案：B [微练3]　下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有有理数都是实数吗？ 解析：①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题． 答案：①②③　④ 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些实数的绝对值不是正数； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解：(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0. (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，满足x2≥2. (3)是存在量词命题，表示为∃x∈R，|x|≤0. (4)是存在量词命题，∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 　(链接教材P27例1，P28例2)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假： (1)有的集合中存在两个相同的元素； (2)∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； (3)存在一个x∈R，使＝0； (4)对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin A＝cos B． [解]　(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题． (2)是全称量词命题，∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，是真命题． (3)是存在量词命题，因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin A＝cos B，是真命题． 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 (1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)； (2)存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． 1．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断其真假： (1)实数都能写成分数形式； (2)平行四边形的对角线互相平分； (3)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}； (4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0. 解：(1)∀x∈R，x能写成分数形式．因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题．