1.4.2 充要条件-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.4.2　充要条件 学习目标 1．理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．　　 知识点一　逆命题 　将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 知识点二　充要条件 　如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q． 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． [微练1]　“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A [微练2]　点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0　　　 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 解析：B　第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数．故选B． [微练3]　在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　当B＝90°或C＝90°时，△ABC为直角三角形，推不出AB2＋AC2＝BC2.所以AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件． [微练4]　已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2}，则A⊆B的充要条件是________． 答案：a＝2 题型一　充要条件的判定 　(链接教材P21例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； (2)p：A⊆B，q：A∪B＝B； (3)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等． [解]　(1)因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p不是q的充要条件． (2)若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件． (3)若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两个三角形全等，故p不是q的充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假； (2)集合法：即利用集合的包含关系判断； (3)等价法：即利用p⇔q的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 解：(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件． 题型二　充要条件的证明 　(链接教材P22例4)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(a，b，c是△ABC的三边边长) [证明]　必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，即必要性成立； 充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c， 所以△ABC是等边三角形，即充分性成立． 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 2．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b， 所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 题型三　充分条件、必要条件、充要条件的应用 　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤