1.4.1 充分条件与必要条件-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 学习目标 1．理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．　　 知识点一　命题及其真假 1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题． 3．结构形式：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论． 知识点二　充分条件与必要条件 　(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p_q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． (1)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (2)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． [微练1]　若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的________条件，“|a|＝1”是“a＝1”的________条件．(填“充分”“必要”) 答案：充分　必要 [微练2]　在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形的两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 答案：A [微练3]　下列说法是否正确？请说明理由． (1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件； (2)x>1是x>2的充分条件． 解：(1)正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0. (2)错误，因为x>1 x>2. 题型一　充分条件的判断 　(链接教材P18例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a<b，则<1； (3)若x>1，则x2>1； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC； (6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. [解]　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1， 因此p q，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1，因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3， 因此p q，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC． 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 充分条件的判断方法 1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB； (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； (3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方． 解：(1)这是线段垂直平分线的性质，p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，p q，所以p不是q的充分条件． (3)这是相似三角形的性质，p⇒q，所以p是q的充分条件． 题型二　必要条件的判断 　(链接教材P19例2)下列命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：a>b，q：ac>bc. [解]　(1)因为两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要条件． (2)因为p⇒q且q⇒p，所以p既是q的充分条件，又是q的必要条件． (3)因为p q且q p，所以p不是q的必要条件． 必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 2．判断下列命题中条件p是否是结论q的必要条件． (1)在△ABC中，p：AC>AB，q：∠B>∠C； (2)已知x，y∈R，p：(x－1)(x－2)＝0，q：x＝1. 解：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的