1.3 第2课时 补集及综合运用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　补集及综合运用 学习目标 1．了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．　 知识点一　全集 1．定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2．记法：全集通常记作U. 知识点二　补集 1．补集 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 2.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U． (2)A∩(∁UA)＝∅． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割． 2．若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． [微练1]　设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则∁UA＝(　　) A．∅　　　　　　 B．{1，3，5} C．{2，4} D．{0，1，3，5} 解析：D　因为集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3，5}． [微练2]　设全集U＝R，集合P＝{x|－1≤x≤1}，那么∁UP＝(　　) A．{x|x<－1} B．{x|x>1} C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1，或x>1} 解析：D　因为P＝{x|－1≤x≤1}，U＝R，所以∁UP＝∁RP＝{x|x<－1，或x>1}． [微练3]　已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________． 答案：5 题型一　补集的简单运算 　(链接教材P13例5)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝(　　) A．U　　　　　　　 B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6} [解析]　因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3，5，6}． [答案]　C 求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解． (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． 1．若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA． (1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}． 解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁S A＝{x|x<－1，或x≥1}． (2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁S A＝{x|x<－1，或1≤x≤2}． (3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁S A＝{x|－4≤x<－1，或x＝1}． 题型二　交、并、补集的综合运算 　(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4} (2)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|2＜x＜8}． ①求(∁UA)∩B； ②求(∁UA)∩(∁UB)． (1)[解析]　因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}．又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．故选A． [答案]　A (2)[解]　①∵A＝{x|1≤x＜5}， ∴∁UA＝{x|x＜1，或x≥5}． 又B＝{x|2＜x＜8}， ∴(∁UA)∩B＝{x|x＜1，或x≥5}∩{x|2＜x＜8}＝{x|5≤x＜8}． ②法一：由①知∁UA＝{x|x＜1，或x≥5}， 又∁UB＝{x|x≤2，或x≥8}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x＜1，或x≥8}． 法二：∵A∪B＝{x|1≤x＜8}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{x|x＜1，或x≥8}． 1．解集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，要先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，要先求出A∪B，再求补集． 2．当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如用不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解． 2．(2023·山西省大同市四校联考)已知集合M＝{－4，－3，－2，－1，0，1，4}，N＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，且M，N都是全集I的子集，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{－1，－2，－3} B．{0，1，2，3} C．{2，3} D．{0，－1，－2，－3