1.2 集合间的基本关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

1.2　集合间的基本关系 学习目标 1．理解两个集合间的包含关系.2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.3.理解空集与子集、真子集之间的关系． 知识点一　Venn图 在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． 例如：集合A＝{a，b，c}， 用Venn图表示. 知识点二　两个集合之间的关系 1．子集 定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集． 记作A⊆B(或B⊇A)．读作“A包含于B”(或“B包含A”)． Venn图表示为. 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若A⊆B，则由x∈A，能推出x∈B． 2．集合相等 定义：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 用符号表示：若A⊆B且B⊆A，则A＝B． Venn图表示为. 3．真子集 定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集． 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)． Venn图表示为. A是B的真子集的含义： A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A． 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC． 例如：N*⊆N或N*N. [微练1]　已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________． 解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1，即a＝－2. 答案：－2 知识点三　空集 1．定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集．记为∅． 2．规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． [微练2]　下列集合中是空集的是(　　) A．{∅}　　　　　　 B．{x∈R|x2＋1＝0} C．{x|x<4，或x>8} D．{x|x2＋2x＋1＝0} 解析：B　A，D选项中各有一个元素，C项中有无穷多个元素，B中，x2＋1＝0无实数解． [微练3]　集合{0，1}的子集有________；非空真子集有________． 解析：集合{0，1}的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}，非空真子集为{0}，{1}． 答案：∅，{0}，{1}，{0，1}　{0}，{1} 题型一　集合间关系的判断 (链接教材P8例2)判断下列集合的关系： (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}； (2)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； (3)A＝{x|x是文学作品}，B＝{x|x是散文}，C＝{x|x是叙事散文}； (4)A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}． 解：(1)B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}＝{1，2，3}＝A． (2)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB． (3)画出Venn图，可知CBA． (4)法一：任取x0∈A，则x0＝2k0＋1，k0∈Z. 又∵x0＝2(k0＋1)－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，∴x0∈B，则A⊆B． 同理可得，B⊆A．由A⊆B，B⊆A，得A＝B． 法二：集合A＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，根据规律可知集合A与B所含元素相同， ∴A＝B． 判断集合间关系的方法 列举 观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系 集合元素 特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系 数形 结合法 利用数轴或Venn图．不等式的解集之间的关系，适合用数轴法 　　 题型二　确定集合的子集、真子集或个数 　(1)(2023·江西省六校联考)设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． (2)写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P. (3)(2023·长春外国语学校月考)已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为(　　) A．3　　 B．4　　 C．7　　 D．8 [解]　(1)由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1，4}， 由0个元素构成的集合A的子集：∅. 由1个元素构成的集合A的子集：{－4}，{－1}，{4}． 由2