1.1 第2课时 集合的表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　集合的表示 学习目标 1．掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．　　 知识点一　用列举法表示集合 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 例如：正整数集可表示为{1，2，3，4，5…}． 知识点二　用描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}． 描述法适用于任何集合，特别是元素具有明显共同特征的集合，其方法如下： 先在花括号里写上表示这个集合中元素的一般符号及取值(或变化范围)，再画一条竖线“|”，在竖线“|”后写出这个集合中元素所具有的共同特征． [微练1]　由方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合用描述法表示为________． 答案：{x|x2－9＝0}或{x|x＝±3} [微练2]　不等式4x－5＜3的解集用集合表示为________． 答案：{x|4x－5＜3}或{x|x＜2} [微练3]　由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________． 解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4，故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}．用描述法表示可用x代表元素，其满足的条件是x∈N且－1<x<5，故用描述法表示集合为{x∈N|－1<x<5}． 答案：{0，1，2，3，4}　{x∈N|－1<x<5} 题型一　用列举法表示集合 (链接教材P3例1)用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组的解组成的集合B； (4)15的正约数组成的集合C； (5)“school”中的所有字母构成的集合． 解：(1)因为－2≤x≤2，x∈Z. 所以x＝－2，－1，0，1，2， 所以A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3}． (3)解方程组得 所以B＝{(3，2)}． (4)因为15的正约数有1，3，5，15， 所以C＝{1，3，5，15}． (5)“school”的字母有“s，c，h，o，o，l”，其集合为{s，c，h，o，l}． 用列举法表示集合的三步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 题型二　用描述法表示集合 　(链接教材P4例2)用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合； (3)C＝{2，4，6，8，10}． [解]　(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}． (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}． (3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.因集合中的元素是2，4，6，8，10， 所以x＝2n，n≤5，n∈N*. 所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}． 1．用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素． 2．若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 1．用适当的方法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)所有的正方形组成的集合． 解：(1)设集合的代表元素是x，则该集合用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N，且k≤332}． (2)用描述法表示为{x|x是正方形}． 题型三　集合表示方法的简单应用 　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多有一个，求m的取值范围． [解]　①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝，符合题意． ②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程．由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，方程mx2－2x＋3＝0无实数根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m的取值范围为. [发散思维] 1．(变条件)若将本例中的“至多有一个”改为“恰有一个”，如何求解？ 解：当m＝0时，A＝，即集合A中只有一个元素，符合题意； 当m≠0时，Δ＝4－12m＝0，即m＝. 综上可知，m的取值范围为. 2．(变条件)若将本例中的“至多有一个”改为“至少有一个”，如何求解？ 解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例2可知，当m＝0或m＝时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－12m>0，即m<且m≠0.所以A中至少有一个元素时