专题24 双曲线及其标准方程7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题24 双曲线及其标准方程7种常见考法归类 1、双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注：对双曲线定义中限制条件的理解 (1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在． (2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线． (3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支． 2、双曲线的标准方程 焦点所在 的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 注：（1）巧记双曲线焦点位置与方程的关系 焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． （2）双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系有何不同？ 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c>0，c与b的大小关系不确定． 3、双曲线的定义及应用 与焦点有关的问题应考虑利用定义，一些简单的题目，其考查点就是双曲线的定义，合理利用定义往往是优化解题的关键. 4、双曲线标准方程的识别 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线. 若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 5、求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 6、双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． [注意]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　 7、双曲线的焦点三角形问题 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　　　　 8、双曲线的实际应用 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．　　 9、椭圆、双曲线特性归纳及应用 已知点A(a,0)，B(－a,0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2. (1)当k1·k2＝－时，点M的轨迹方程为椭圆＋＝1(x≠±a，a＞b＞0)． (2)当k1·k2＝时，点M的轨迹方程为双曲线－＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 双曲线的定义及应用 考点二 双曲线标准方程的识别 考点三 求双曲线的标准方程 考点四 根据双曲线的标准方程求相关量 考点五 双曲线中的焦点三角形问题 考点六 双曲线的实际应用 考点七 双曲线的轨迹问题 考点一 双曲线的定义及应用 1．（2023秋·高二课前预习）判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线.( ) （2）平面内到点，的距离之差等于的点的轨迹是双曲线．( )     （3）平面内到点，的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．( ) （4）双曲线的标准方程中，，的大小关系是.( ) 2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·高二课时练习）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支