专题25 双曲线的简单几何性质9种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题25 双曲线的简单几何性质9种常见考法归类 1、双曲线的简单几何性质 （1）双曲线的几何性质 （2）等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝. 注：（1）双曲线的“虚轴”：在双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)中，令y＝0，可得x＝±a，因此双曲线与x轴有两个交点；而令x＝0，方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点．为了方便画图，把点B1(0，－b)，B2(0，b)也画在y轴上，称线段B1B2为双曲线的虚轴． 此处应注意：双曲线有两个顶点，而椭圆有四个顶点． （2）双曲线的渐近线特点： 双曲线的渐近线是两条直线．随着x和y趋向无穷大，双曲线的各支将与渐近线无限接近，但永远没有交点．由双曲线的渐近线方程只能确定a与b的比值，无法确定双曲线的焦点在哪一条坐标轴上． （3）如何用几何图形解释c2＝a2＋b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？ 由于c2＝a2＋b2，a，b，c就是右图中Rt△OAB的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义． 2、直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 3、弦长公式 斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝. 4、由双曲线的标准方程求几何性质 已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较. 5、由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 （1）由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1mn>0. （2）常见双曲线方程的设法. ①渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λλ≠0，m>0，n>0；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝mm≠0，A>0，B>0. ②与双曲线＝1或＝1a>0，b>0共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λλ≠0. ③与双曲线＝1a>0，b>0离心率相等的双曲线系方程可设为＝λλ>0或＝λλ>0，这是因为由离心率不能确定焦点位置. ④与椭圆＝1a>b>0共焦点的双曲线系方程可设为＝1b2<λ<a2. 6、求双曲线的离心率或其取值范围的思路 （1）求解双曲线的离心率一般有两种方法. ①由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝＝＝，其中a>0，b>0. ②依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍. （2）求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解.在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a. 双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化. 7、若直线y＝kx＋m(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)只有一个公共点，则此时直线与双曲线不一定相切.(1)当k＝±时，直线与双曲线恰有一个交点，此时直线与双曲线渐近线平行，并与双曲线的一支交于一点，此时的位置关系是相交不是相切．(2)当k≠±，且直线与双曲线方程联立后的方程的Δ＝0时，直线与双曲线恰有一个公共点，此时的位置关系是相切． 8、直线与双曲线位置关系的判断方法： (1)方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)．当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；当二次项系数不等于0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，则直线与双曲线只有一个公共点，若Δ<0，则直线与双曲线无公共点． (2)数形结合思想的应用 a．直线过定点时，根据定点的位置和双曲线