7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

7．2　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 学习目标 1．掌握复数代数形式的加法、减法运算法则．(重点)　2.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义．(重点)　3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题．(难点) 知识点一　复数加法、减法运算 1．复数加法、减法的运算法则 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则有 交换律：z1＋z2＝z2＋z1； 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [微练1]　计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________． (2)(－1＋i)＋(1－i)＝________． (3)3＋(4－5i)＝________． 答案：(1)6＋i　(2)0　(3)7－5i 知识点二　复数加法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两条邻边的平行四边形的对角线对应的向量所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行，亦即＝＋，如图． [微练2]　已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　) 解析：A　由题图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确． 知识点三　复数减法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减向量终点的向量所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行，如图． [微练3]　如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝(　　) A．－1＋2i B．－2－2i C．1＋2i D．1－2i 答案：B 题型一　复数的加、减法运算 1．已知复数z1＝7－6i，z2＝4－7i，则z1－z2＝(　　) A．3＋i B．3－i C．11－13i D．3－13i 解析：A　z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋i. 2．若z－3＋5i＝8－2i，则z＝(　　) A．8－7i B．5－3i C．11－7i D．8＋7i 解析：C　z＝(8－2i)－(－3＋5i)＝11－7i.故选C． 3．已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数．若z1－z2＝0，则m的值为(　　) A．4 B．－1 C．6 D．0 解析：B　由题意可得z1＝z2， 则解得m＝－1.故选B． 复数加、减运算的法则 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减、虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． 题型二　复数加、减法的几何意义 　(链接教材P77练习T2)如图，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i. (1)求表示的复数； (2)求表示的复数． 解：(1)∵＝－， ∴表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)∵＝－， ∴表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. [发散思维]　(变设问)本例条件不变，求B点对应的复数． 解：∵＝＋＝＋，∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即B点对应的复数为1＋6i. 利用复数的几何意义解题的常用技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形转化成复数，几何图形的变换转化成复数的运算进行解题； (2)数转化为形：对于一些复数运算给予几何解释，将复数作为工具运用于几何之中． 1．已知M，N分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，则△MON是________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)． 解析：因为|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，所以|z1－z2|＝|z1＋z2|，故以OM，ON为邻边的平行四边形的对角线的长度相等，即该平行四边形为矩形，所以△MON是直角三角形． 答案：直角 题型三　复数模的最值问题 　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1 B． C．2 D． 解析：A　设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，