7.1.2 复数的几何意义-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

7.1.2　复数的几何意义 学习目标 1．了解复平面的概念．(重点)　2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系．(重点、难点)　3.掌握复数模的概念，会求复数的模．(重点) 知识点一　复数的几何意义 1．复平面 (1)复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； (2)实轴：坐标系中的x轴叫实轴，在它上面的点都表示实数； (3)虚轴：坐标系中的y轴叫虚轴，除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数与复平面内的点一一对应： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)． (2)复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量． (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？ 提示：不是．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)象限内的点与复数有何对应关系？ 提示：第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负． 知识点二　复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)． [微练1]　若复数z＝2＋2i，则|z|＝________． 解析：z＝2＋2i，则|z|＝＝2. 答案：2 知识点三　共轭复数 1．定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 通常记复数z的共轭复数为，若z＝a＋bi，则＝a－bi．特别地，实数a的共轭复数仍是a本身． 2．性质 (1)||＝|z|. (2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R. [微练2]　如图，在复平面内点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　) A．A B．B C．C D．D 解析：B　因为x＋yi(x，y∈R)的共轭复数是x－yi，所以由复数的几何意义知，z与其共轭复数所对应的点关于实轴对称．故选B． 题型一　复数与平面内点的对应 1．(2023·云南弥勒一中月考)设x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x－yi在复平面内对应的点所在象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，所以x－yi＝1－i，所以复数1－i在复平面内对应的点在第四象限．故选D． 2．在复平面内，若复数－1－(a2－2a)i(i为虚数单位)对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，2) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 解析：A　∵复数－1－(a2－2a)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，∴－(a2－2a)>0，∴0<a<2.故选A． 3．(多选题)若θ∈(π，2π)，则复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：AB　因为θ∈(π，2π)，所以－1<cos θ<1，－1≤sin θ<0，所以复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限．故选AB． 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程(组)或不等式(组)：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 题型二　复数与向量的对应关系 　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i 解析：C　由复数的几何意义，可得＝(5，－4)，＝(－5，4)， 所以＋＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以＋对应的复数为0. (2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i 解析：D　由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3，2)，＝－＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)．所以对应的复数是5－5i. [发散思维]　1.(变条件)若在本例(2)中对应的复数是z，则＝________． 解析：由本例(2)的解析可知对应的复数是5－5i，即z＝5－5i，所以＝5＋5i. 答案：5＋5i 2．(变设问)在本例(2)中，若点A关于实轴的