7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 学习目标 1．了解数系的扩充与引进复数的必要性．(重点)　2.理解复数的有关概念及其代数形式．(难点) 3．掌握复数相等的充要条件及其应用．(重点) 知识点一　复数的概念及其表示 1．复数的定义 我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C叫做复数集．规定i·i＝i2＝－1． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 两个复数一定能比较大小吗？ 提示：当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小． [微练1]　若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________． 答案：4 知识点二　复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d． 若复数a＋2i＝3＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是什么？ 提示：因为a＋2i＝3＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a＋b＝5. 知识点三　复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类情况如下： 复数 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： [微练2]　若全集C＝{复数}，Q＝{有理数}，P＝{虚数}，则(∁CQ)∪(∁CP)是(　　) A．C　　　　　　　 B．无理数集 C．Q D．R 解析：A　在全集C中，有理数集Q的补集是虚数集P和无理数集；虚数集P的补集是实数集，所以(∁CQ)∪(∁CP)是全集C． 题型一　复数的有关概念及分类 1．已知复数z＝－＋i(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　) A．－ B．i C． D． 解析：C　z＝－＋i的虚部为.故选C． 2．下列说法正确的是(　　) A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数 B．1＋2i<3＋4i C．复数1－2i中，实部为1，虚部为－2i D．若a，b∈R，且a>b，则bi2>ai2 解析：D　A中，当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故A说法错误；B中，复数不能比较大小，故B说法错误；C中，复数1－2i的实部为1，虚部为－2，故C说法错误；D中，因为i2＝－1，a>b，所以bi2>ai2，故D说法正确． 3．给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B． 1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式，即z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解． 2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． 3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0. 题型二　复数相等 　(链接教材P70练习T3)(1)若x＋y＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值． (2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值． 解：(1)由复数相等的充要条件， 得解得 (2)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得 解得　或 所以a＝±. 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解． 1．(2023·山东济宁高一期中)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m－4)i(m∈R)，z2＝3－3i，则m＝1是z1＝z2的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　若z1＝z2，则解得m＝1，所以m＝1是z1＝z2的充要条件． 题型三　复数的应用 　若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值． 解：设方程的实根为x＝m， 则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，所以 解得a＝11或a＝－. 解关于方程有实根的问题，一般都是先把实根代入方程，再用复数相等的充要条件求解． 复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是重要的思想方法，转化过程主要依据复数相等的充要条件． 2．已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值． 解：设(x0，y0)是方程组的实数解．由已知及复数相等，得 由①②得代入③④得