6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标 1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．(重点)　2.掌握平面向量共线的坐标表示方法．(重点、难点)　3.能够运用向量坐标表示和向量共线的坐标表示解决相关问题．(重点) 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy) 文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 [微练1]　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)， 则(1)2a＋3b＝________； (2)a－3b＝________； (3)a－b＝________． 答案：(1)(4，7)　(2)(－7，－1)　(3) 知识点二　平面向量共线的坐标表示 前提条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 对于平行向量如何根据其坐标判断两向量是同向还是反向？ 提示：根据向量的坐标，由(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当λ>0时，两向量同向，当λ<0时，两向量反向． [微练2]　(1)与向量a＝(1，2)平行的向量是(　　) A．(－2，－1) B．(－2，1) C．(－1，0) D．(－1，－2) 解析：D　因为1×(－2)－2×(－1)＝0，所以与向量a＝(1，2)平行的向量是(－1，－2)． (2)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________． 解析：∵a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3，当λ＝－3时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，∴a∥b成立． 答案：－3 题型一　向量数乘的坐标运算 1．(链接教材P31例6)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 解析：A　∵a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)． 2．(2023·河南平顶山高一下期末)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，6)，c＝(7，3)，则c可用a与b表示为(　　) A．3a＋b B．a＋3b C．3a＋2b D．3a－b 解析：A　设c＝xa＋yb，x，y∈R，则(7，3)＝(2x＋y，－x＋6y)，即解得所以c＝3a＋b. 向量数乘坐标运算的三个关注点 (1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用； (2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题； (3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题． 题型二　平面向量共线的坐标表示 　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？ 解：法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得解得k＝λ＝－. 法二：由法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－. [发散思维]　1.(变设问)若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？ 解：由本例知当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， ∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向． 2．(变设问)在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”又如何求k的值？ 解：a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2)＝(1－3k，2＋2k)，3a－b＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)． ∵a＋kb与3a－b平行， ∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0， 解得k＝－. 1．由向量共线求参数的值的方法 2．a∥b的充要条件有两种表达方式 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)； (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 1．(2023·湖北省武汉市华科大附中月考)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10) 解析：C　由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 题型三　向量共线坐标表示的综合应