6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 学习目标 1．理解向量正交分解以及坐标表示的意义．(重点)　2.掌握平面向量加法、减法的坐标运算法则，能够进行向量的坐标运算．(重点) 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1．正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底． (2)坐标：对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． (3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量a的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)． [微练1]　如图，{e1，e2}是一个基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为________． 解析：因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3)． 答案：(1，3) 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 结论 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) 语言 表述 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) [微练2]　设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a－b的坐标为________． 解析：法一：由已知a＝3i＋4j，b＝－i＋j， 得a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j，又i＝(1，0)，j＝(0，1)， 所以a－b的坐标为(4，3)． 法二：由向量的坐标表示及已知条件可知，a＝(3，4)，b＝(－1，1)，所以a－b＝(4，3)． 答案：(4，3) 知识点三　向量坐标与点的坐标的联系 1．条件：O(0，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 2．结论：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)． 3．语言表述： (1)以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标； (2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． [微练3]　已知四点A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，则＋＋为________． 解析：＋＋＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)． 答案：(－12，8) 题型一　向量的坐标表示 1．在平面直角坐标系中，如果用i，j分别表示x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 解析：C　记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j. 2．(2023·广东省江门市期中)设＝(－2，3)，＝(1，－4)，则＝(　　) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(3，－7) D．(－3，7) 解析：B　因为＝(－2，3)，＝(1，－4)，所以＝＋＝(－2＋1，3－4)＝(－1，－1)． 3．已知向量＝(5，12)，将绕原点O按逆时针方向旋转90°得到，则＝(　　) A．(－5，13) B．(－5，12) C．(－12，13) D．(－12，5) 解析：D　如图，向量＝(5，12)，将绕原点O按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标为(－12，5)，所以＝(－12，5)． 求平面向量坐标的方法 (1)若i，j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，则当a＝xi＋yj时，向量a的坐标即为(x，y)． (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时，常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算． 题型二　平面向量的坐标运算 　(链接教材P29例4)(1)已知向量a，b满足a＋b＝(1，3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　　) A．(4，0)，(－2，6) B．(－2，6)，(4，0) C．(2，0)，(－1，3) D．(－1，3)，(2，0) 解析：C　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(1，3)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)＝(3，－3)， ∴解得 所以a＝(2，0)，b＝(－1，3)． (2)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求＋，－的坐标． 解：因为＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，所以＋＝(－