6.2.4 第2课时 向量的数量积(二)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

第2课时　向量的数量积(二) 学习目标 会求向量的模、夹角，能运用数量积解决向量的垂直问题．(重点、难点) 题型一　向量的夹角问题 1．(2023·江苏省南京市金陵中学月考)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D．－ 解析：C　设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]， 因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝， 所以cos θ＝＝＝， 所以向量a，b的夹角θ＝. 2．(链接教材P18例10)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：C　因为(2a＋b)⊥b， 所以(2a＋b)·b＝0， 所以2a·b＋|b|2＝0. 设a，b的夹角为θ， 则2|a||b|cos θ＋|b|2＝0. 又|a|＝|b|，所以2|b|2cos θ＋|b|2＝0， 因此cos θ＝－， 因为θ∈[0，π]，从而θ＝120°.故选C． 3．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________． 解析：∵a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2) ＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝0. ∴k＋(1－2k)cos －2＝0，解得k＝. 答案： 求两向量夹角的基本思路 求两非零向量的夹角θ或其余弦值一般利用夹角公式cos θ＝求解．根据题中条件分别求出|a|，|b|和a·b.确定θ时要注意θ∈[0，π]，当cos θ ＞0时，θ∈；当cos θ＜0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝.此外，往往将夹角的最值问题转化为模的范围研究，因此基本不等式是重要的工具． 题型二　向量的模 　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|. 解：a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝， |a＋b|＝＝＝＝5. |a－b|＝＝＝＝5. [发散思维]　1.(变条件)若本例的条件变为：向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求|a＋b|. 解：由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4. ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2. 2．(变设问)若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|. 解：a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝， |2a＋b|＝＝ ＝＝5. |a－2b|＝＝ ＝＝5. 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． 1．若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝|a－b|，则|2a＋b|等于(　　) A． B．2 C．2 D．8 解析：B　∵|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝|a－b|，∴a⊥b，∴a·b＝0，故|2a＋b|＝＝＝2. 题型三　向量的垂直问题 　(链接教材P21例13)已知单位向量a与b的夹角为，若xa＋b与a垂直，则实数x的值为________． 解析：由题意得a·b＝1×1×cos ＝，若xa＋b与a垂直，则(xa＋b)·a＝xa2＋a·b＝x＋＝0，解得x＝－. 答案：－ a⊥b⇔a·b＝0的应用 对于非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0是向量中非常重要的性质，其作用主要有： (1)证明两向量垂直或解决平面几何图形中有关垂直的问题； (2)利用a·b＝0列方程求未知数的值． 2．(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C． D．－ 解析：B　由题意知cos〈m，n〉＝＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0， 即tn2＋n2＝0，所以t＝－4. (2)(2023·云南省昆明一中期中)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则向量a在b上的投影向量为(　　) A．－b B．b C．b D．－b 解析：D　∵|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)， ∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋a·b＝0， 即a·b＝－|a|2＝－1 设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝1×cos θ＝－1，得cos θ＝－. ∴向量a在b上的投影向量为|a|cos θ·＝(－)·