6.2.4 第1课时 向量的数量积(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6．2.4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(一) 学习目标 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(易错点)　2.掌握数量积公式及其投影的意义．(易错点)　3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律．(重点) 知识点一　向量数量积的定义 1．向量a与向量b的夹角 (1)夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(θ∈[0，π])叫做向量a与b的夹角． (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． (3)如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b． 2．向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ. (2)零向量与任一向量的数量积为0． 已知在△ABC中，若·<0，那么△ABC的形状是什么？ 提示：∵·＝||·||·cos B<0，∴cos B<0，又B为△ABC的内角，∴<B<π，即△ABC是钝角三角形． [微练1]　已知向量a，b，|a|＝8，|b|＝4，a与b夹角为60°，则a·b＝________． 答案：16 知识点二　向量a在向量b上的投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． a在b上的投影向量与b的方向一致吗？ 提示：a在b上的投影向量可能与b同向，可能反向，也可能为0，它的方向取决于θ角的范围． 知识点三　平面向量数量积的性质和运算律 1．平面向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，则由向量数量积的定义，有： (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|． 特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝. (3)|a·b|≤|a||b|，当且仅当向量a，b共线，即a∥b时，等号成立． (4)cos θ＝，其中θ是非零向量a与b的夹角． 2．平面向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. [微练2]　(1)若|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是________． 答案：150° (2)设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题： ①(a·b)c－(c·a)b＝0； ②(b·c)a－(c·a)b不与c垂直； ③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中为正确命题的是________(填序号)． 答案：③ 题型一　向量数量积的简单计算 1．已知平面向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，则a·(a＋b)＝(　　) A．3 B．2 C．0 D．1＋ 解析：C　∵向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝1×2×＝－1， ∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1－1＝0. 2．(2023·江西景德镇一中高一期末)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　) A． B．－ C．9 D．－9 解析：B　由题意，可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－. 3．(链接教材P17例9)已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，试计算： (1)a·b＝________； (2)(a＋b)·(a－b)＝________； (3)(a＋b)·(a＋b)＝________； (4)(a－2b)·(3a＋b)＝________． 解析：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×cos 120°＝－6. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝－7. (3)(a＋b)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝13. (4)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2＝25. 答案：(1)－6　(2)－7　(3)13　(4)25 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． 题型二　平面几何图形中的向量数量积的计算 　(链接教材P24习题T24)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B． C． D． 解析：D　由DE