6.2.3 向量的数乘运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 学习目标 1．理解向量数乘的定义及几何意义．(重点)　2.掌握向量数乘的运算律，能够用已知向量表示未知向量．(重点)　3.掌握共线向量定理，会判断或证明两个向量共线．(重点、易错点) 知识点一　向量的数乘运算 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ＞0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝ 0 λ＜0 λa的方向与a的方向相反 规定 当λ＝0或a＝0时，λa＝0 对于非零向量a，向量－6a与向量2a的方向和模的关系是什么？ 提示：方向相反，且－6a的模是向量2a的模的3倍． [微练1]　(多选题)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是(　　) A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的倍 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 解析：ABC　先从实数的正负判断两向量方向的关系，再找两向量模的关系，从而得出结论． A正确，∵2>0，∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|； B正确，∵5>0，∴5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|， 又－2<0，∴－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|， ∴5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的倍； C正确，按照相反向量的定义可以判断； D错误，a－b与－(b－a)为相等向量． 知识点二　向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)结合律：λ(μa)＝(λμ)a； (2)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. [微练2]　化简： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝________________． (2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝________． 解析：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b. 答案：(1)14a－9b　(2)－2a＋4b 知识点三　共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 共线向量定理中为什么规定a≠0? 提示：若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线． ①若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa. ②若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa. [微练3]　设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 解析：D　当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2，所以n＝2m，此时，m，n共线． 题型一　向量的线性运算 1．(2023·浙江嵊州高一下期末)3(2a－b)－2(a＋3b)的化简结果为(　　) A．4a＋3b B．4a－9b C．8a－9b D．4a－3b 解析：B　由题意，3(2a－b)－2(a＋3b)＝4a－9b. 2．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　) A．－a B．－4b C．c D．a－b 解析：A　3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a. 3．(链接教材P14例5)(1)化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________． (2)若3(m＋a)＋2(m－2a)－4(m－a＋b)＝0，则m＝________． 解析：(1)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0＋0＝0. (2)由已知得3m＋3a＋2m－4a－4m＋4a－4b＝0， 所以m＋3a－4b＝0，所以m＝4b－3a. 答案：(1)0　(2)4b－3a 向量线性运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量，向量前的实数可看成是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用解代数方程的方法求解． 题型二　用已知向量表示相关向量 　(多选题)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，点E为BC边上一点，且＝3，点F为AE的中点，则(　　) A．＝－＋ B．＝＋ C．＝－＋ D．＝－ 解析：ABC　由题意知，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故A正确；因为＝3，所以＝＝－＋，所以＝＋＝＋＝＋，又点F为AE的