6.2.2 向量的减法运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6.2.2　向量的减法运算 学习目标 1．理解相反向量的概念．(易错点)　2.理解向量减法的意义，掌握向量减法的运算法则及其几何意义．(重点)　3.能运用向量的加法与减法解决相关问题．(难点) 知识点一　相反向量 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质 ①零向量的相反向量仍是零向量 ②a＋(－a)＝(－a)＋a＝ 0 ③如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝ 0 知识点二　向量减法运算及其几何意义 1．向量减法的定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2．向量减法的三角形法则 如图，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义． 若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 提示：如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． [微练]　(1)(多选题)(2023·湖北省枣阳市期中)在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则－－等于(　　) A． B． C． D． 解析：AB　－－＝＋＋＝＝. (2)化简(－)－(－)的结果是________． 解析：(－)－(－) ＝－－＋＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 答案：0 题型一　用已知向量求解向量的差 1．根据图填空： (1)d－e＝________； (2)a＋b＋e＝________； (3)c＋d－a－e＝________． 解析：由题图知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. (1)d－e＝－＝＝－. (2)a＋b＋e＝＋＋＝＋＋＝＋＝. (3)c＋d－a－e＝＋－－＝(＋)－(＋)＝－＝. 答案：(1)－　(2)　(3) 2．如图，已知正方形ABCD，＝a，＝b，＝c，试作向量： (1)a＋b＋c； (2)a－b＋c. 解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c.如图，延长AC至点E，使||＝||，则＝a＋b＋c. (2)由已知得＝，a－b＝－＝.如图，作＝＝c，易得D，C，F三点共线，则＝＋＝a－b＋c. 作两个向量的差的两种方法 (1)用向量减法的三角形法则 ①步骤： ②口诀：共起点，连终点，指向被减． (2)用向量减法的定义 根据a－b＝a＋(－b)转化为向量加法运算，再作图． 题型二　向量的减法运算 　(多选题)(链接教材P13练习T2)下列四式中能化简为的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C．(＋)－ D．(－)＋ 解析：ABD　由题意得，选项A中，(＋)＋＝＋＋＝＋＝；选项B中，(＋)＋(＋)＝＋(＋)＋＝＋(＋)＝＋0；选项C中，(＋)－＝＋＋＝2＋，所以C不能化简为；选项D中，(－)＋＝＋＝. 向量减法运算的常用方法　　 1．(多选题)(2023·河北武强中学高一下期中)下列式子运算的结果为零向量的是(　　) A．－(＋) B．－＋－ C．－＋ D．＋＋－ 解析：BCD　A中，－(＋)＝－＝2；B中，－＋－＝＋＝0；C中，－＋＝＋＝0；D中，＋＋－＝＋＝0.故选BCD． 题型三　向量加减法几何意义的应用 　已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|. 解：设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD. 则＝a＋b，＝a－b. 因为|a＋b|＝|a－b|， 所以||＝||. 所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB. 在Rt△DAB中，||＝6，||＝8，由勾股定理，得||＝＝＝10.所以|a－b|＝|a＋b|＝10. [发散思维]　1.(变设问)本例条件中删掉|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|的最大值． 解：|a－b|≤|a|＋|b|＝8＋6＝14. 故|a－b|max＝14. 2．(变条件，变设问)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围． 解：∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6， ∴3≤|－|≤15. 当与同向时，|－|＝3； 当与反向时，|－|＝15， ∴|－|的取值范围为[3，15]． 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b. 2．在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|. 3．在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当