6.2.1 向量的加法运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6.2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 学习目标 1．理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义．(重点)　2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会进行向量加法运算．(重点、难点)　3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算．(重点) 知识点一　向量的加法及其运算法则 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法，两个向量的和仍然是一个向量． 2．向量加法的三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b， 则向量叫做a与b的和(或和向量)(如图)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 3．向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b， 作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量就是向量a与b的和(如图)．这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀 (1)三角形法则：作平移，首尾连，由起点，指终点； (2)平行四边形法则：作平移，共起点，四边形，对角线． 5．对于零向量与任意向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a. (1)一般地，对于任意向量a，b有|a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件是什么？ 提示：向量a，b方向相同或者至少有一个为零向量时等号成立． (2)任意两个非零向量相加都可以用向量加法的平行四边形法则吗？ 提示：不一定．当两个向量共线时不能用向量加法的平行四边形法则． [微练1]　在平行四边形ABCD中，＋＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：A　由向量加法的三角形法则可知＋＝0，所以＋＋＝. 知识点二　向量加法的运算律 1．加法交换律 a＋b＝b＋a． 2．加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． [微练2]　化简＋＋＝________． 解析：＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. 答案：0 题型一　已知向量作和向量 1．(2023·北京市育英中学月考)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：B　以OP，OQ为邻边作平行四边形，可知OF为所作平行四边形的对角线，故由平行四边形法则可知OF对应的向量即所求向量． 2．(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. 图①　　　　　　　图② 解：(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一：三角形法则 如图a所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b， 则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 图a　　　　　　　　　　　图b 法二：平行四边形法则 如图b所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 求作和向量的方法 (1)利用三角形法则．在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从一个向量始点到另外一个向量终点的向量就是这两个向量的和．一定要注意首尾相接． (2)利用平行四边形法则．在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和． 题型二　向量加法的运算律及应用 　化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. 解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＋＝＋＋(＋＋)＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. 解决向量加法运算问题时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. 1．(2023·浙江温州高一期末)化简(＋)＋(＋)＋的结果是(　　) A． B． C． D． 解析：B　(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋＋＋＝(＋)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 题型三　向量加法的应用问题 　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解：作出图形，如图． 设船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min，∴cos α＝＝＝，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向． [发散思维]　1.(变设问)若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？ 解：由本例知|v船|＝20 m