6.1 平面向量的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教A版）

6．1　平面向量的概念 学习目标 1．了解向量的实际背景，理解向量的概念．(重点)　2.掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念．(重点)　3.理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念．(难点、易错点) 知识点一　向量的概念 1．数量与向量 在数学中，把既有大小又有方向的量叫做向量，而把只有大小没有方向的量称为数量． 2．向量的二要素 向量由大小与方向两个要素组成．向量的大小是代数特征，方向是几何特征． 给出下列物理量：①质量；②路程；③密度；④功；⑤时间．它们是向量吗？为什么？ 提示：它们不是向量，因为质量、路程、密度、功、时间只有大小没有方向，所以是数量． 知识点二　向量的几何表示 1.具有方向的线段叫做有向线段．通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作，起点要写在终点的前面． 2．有向线段的三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了． 3．向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||． 4．长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 两个向量能比较大小吗？有向线段是向量吗？ 提示：两个向量不能比较大小，因为向量既有大小也有方向．有向线段表示向量，但有向线段不是向量． 知识点三　相等向量与共线向量 1．平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a与b平行，记作a∥b．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 2．相等向量 (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b. (2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定． 3．共线向量 由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平行移动的．也就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量． (1)平行向量是否一定方向相同？不相等的向量是否一定不平行？ 提示：不一定，不一定． (2)与零向量相等的向量必定是什么向量？ 提示：零向量． [微练]　(多选题)如图所示，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形CGHD是完全相同的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A．||＝|| B．与共线 C．与共线 D．＝ 解析：ABD　由题意可知，||＝||，A正确；由图形可知，∥，即与共线，B正确；与方向相同且长度相等，即＝，D正确；∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，C不一定成立． 题型一　向量的基本概念 1．(多选题)(链接教材P5习题T3)下列说法正确的有(　　) A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量 B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点 C．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．若a＝b，b＝c，则a＝c 解析：CD　有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确．两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故C正确．若a＝b，则a，b的长度相等且方向相同；若b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，故D正确． 2．(多选题)(2023·福建师大二附中高一月考)下列说法中正确的是(　　) A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量长度为零且没有方向 C．若向量，满足||>||，且与同向，则> D．单位向量的模都为1 解析：AD　向量的长度与向量的长度都是线段AB的长度，故相等，故A正确；零向量有方向，它的方向是任意的，故B错误；向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，故C错误；由单位向量的概念，知D正确．故选AD． 3．给出下列几种说法： (1)速度、力、角度这些物理量都是向量； (2)若|a|＝|b|，则a与b的方向相同； (3)向量的模一定是正数； (4)有向线段与表示不同向量． 其中正确的序号是________． 解析：(1)错误，只有速度和力是向量． (2)错误，由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明方向关系． (3)错误，|0|＝0. (4)正确，两向量方向不同，表示不同向量． 答案：(4) 1．判断一个量是否为向量应从两个方面入手 (1)是否有大小； (2)是否有方向． 2．注意两个特殊向量：零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (2)单位向量不一定相等，因为单位向量的方向不一定相同． 题型二　向量的表示 　(链接教材P3例1)小明从学校的教学楼出发，向北走了1500 m到达图书馆，2