2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 [素养目标]　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，重点培养数学抽象核心素养．　2.理解直线的方向向量，法向量的概念，掌握它们与斜率的关系，提升数学抽象、数学运算核心素养． 　直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°，倾斜角的取值范围是0°～180°. (2)性质：一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则 ①当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°； ②当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°； ③当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝． 2．直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． [点睛] 斜率与倾斜角的关系 直线 与x轴平行 由左向右上升 与y轴平行 由左向右下降 图示 θ的 范围 θ＝0 0<θ< θ＝ <θ<π k的 范围 k＝0 k>0 k不存在 k<0 k的增 减性 随θ的增大而增大 随θ的增大而增大 提醒：k的增减性与θ的关系可借助正切函数y＝tan θ的性质进行记忆． 　直线的方向向量 1．直线的方向向量 定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． 2．直线l的方向向量的性质 (1)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线； (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． 3．直线的方向向量与直线的斜率的关系 一般地，如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则： (1)当u＝0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝，因此可知倾斜角满足tan θ＝. 　直线的法向量 1．直线的法向量 定义：一般地，如果表示非零向量ν的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量ν为直线l的一个法向量，记作ν⊥l. 2．一条直线的方向向量与法向量互相垂直．特别地，当x0与y0不全为0时，因为向量(x0，y0)与(y0，－x0)是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量． 1．任意一条直线的方向向量和法向量都有无数个． 2．若直线的方向向量a＝(u，v)，法向量ν＝(x，y)，则 (1)ux＋vy＝0； (2)ν＝λ(－v，u)，λ≠0. [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]．(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率也越大．(　　) (3)若直线的斜率k＝tan θ，则θ一定为该直线的倾斜角．(　　) (4)两条直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．经过点M(m，1)，N(0，2)的直线斜率大于1，则m的取值范围是(　　) A．m<－1　　　　　　 B．－1<m<0 C．m<0 D．－2<m<－1 答案：B 3．已知三点A(5，4)，B(3，8)，C(n，－2)共线，则n＝________． 答案：8 直线的倾斜角(小组探究) 　(课本例1拓展)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时为α＋45°，当135°≤α<180°时为α－135° 【尝试解答】　由倾斜角的范围知只有当45°≤α＋45°<180°，即0°≤α<135°时，l1的倾斜角才是α＋45°； 而0°≤α<180°， 所以当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D． 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形