1.2.4 二面角-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（人教B版）

1．2.4　二面角 [素养目标]　1.掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角，重点培养直观想象核心素养．　2.掌握求二面角大小的基本方法，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　二面角及其度量 1．二面角的概念 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做一个半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 2．二面角的平面角 如图所示，在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． [点睛] (1)二面角的平面角必须具备三个条件：①“棱上”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上；②“面内”，即角的两边必须分别在两个半平面内；③“垂直”，即角的两边必须都与棱垂直． (2)二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，顶点在棱上的不同位置所作的平面角是相等的． 我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°.而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的． [拓展] 面积射影法 如图所示，已知二面角α­l­β的大小为θ，在平面α内有△ABC，它在平面β内的射影为△A′BC，它们的面积分别为S，S′，则有cos θ＝. 将此结论推广为：设平面α内的任一平面图形的面积为S，它在平面β内正射影的面积为S′，则cos θ＝. 　用空间向量求二面角的大小 设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量 (1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉； (2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．特别地sin θ＝sin〈n1，n2〉． [预习诊断] 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　) (2)若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A­BD­C的大小为(　　) A.　　　　　　 B. C.或 D.或 解析：选C.因为二面角的范围是[0，π]，所以二面角A­BD­C的大小为或. 3．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为_____． 解析：由题得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． 则令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝，平面xOy的一个法向量为a＝(0，0，3)，由此易求出平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为＝. 答案： 4．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面为正三角形，若AA1＝AB＝1，E为棱BB1的中点，则平面AEC与平面ABC所成角的大小为________________． 解析：取AC中点D，则∠BDE为平面AEC与平面ABC所成角的平面角，∵tan∠BDE＝＝， ∴∠BDE＝30°. 答案：30° 几何法求二面角的大小(合作探究) 　(课本例1、例2综合)将一副三角板按如图所示的方法拼接，设BC＝6，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠BDC＝60°，再把三角板ABC沿BC折起，使两块三角板所在的平面互相垂直． (1)求证：平面ABD⊥平面ACD； (2)求二面角A­BD­C的正切值． 【审题指导】　(1)已知平面ABC⊥平面BCD，利用面面垂直的性质和判定定理易证得； (2)取BC的中点O，连接AO，过点O作OE⊥BD于点E，连接AE，利用三垂线定理易证∠AEO为二面角A­BD­C的平面角． 【素养立意】　本题主要考查运用垂直关系求二面角的大小，突出考查逻辑推理核心素养． 【尝试解答】　(1)证明 ∵二面角A­BC­D是直二面角，CD⊥BC， ∴由面面垂直的性质得CD⊥平面ABC，∴CD⊥AB.又∵AC⊥AB，AC∩CD＝C，∴AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABD. ∴平面ABD⊥平面ACD. (2)如题图所示，取BC的中点O，连接AO，则AO⊥平面BCD. 作OE⊥BD于点E，连接AE，则AE⊥BD， ∴∠AEO为二面角A­BD­C的平面角． ∵BC＝6，∴AO＝BO＝CO＝3，